运用同向不等式相加解题的错因分析

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教师在课堂教学中，学生在解题过程中经常会遇到应用不等式的性质：同向不等式相加或同向不等式相乘去解决变量、参数的取值范围，求变量及参数的最大、最小值问题，得出的结果常出现范围扩大或取不到最大、最小值的情况。以下通过解题分析对运用此内容解题进行剖析与反思。

例1 2009高考全国卷22题：

设函数f（x）=x3+3bx2+3cx两个极点x1，x2，且x1∈[-1，0]，x2∈[1，2]。

（1）求b，c满足的约束条件，并在坐标系内画出满足这些条件的点（b，c）的区域；

（2）证明：-10≤f（x2）≤-■

解题过程第（1）解答略，第（2）问解答如下

解法（一）

解：由f′（x）=3x2+6bx+3c，

则f′（x2）=3x■■■+6bx2+3c=0，

b=-■，f（x2）=x■■■+3bx■■■+3cx2=-■x■■■+■x2

θ1≤x2≤2，

-4≤-■x■■■≤-■，由（1）得-2≤c≤0

-6≤■x2≤0，-10≤-■x■■■+■x2≤-■，即

-10≤f（x2）≤-■

解法（二）

解：由f′（x）=3x2+6bx+3c，则f′（x2）=3x■■■+6bx2+3c=0，所以

c=-2x■■■-2bx2，f（x2）=x■■■+6bx■■■+x2（-3x■■■-6bx2）=-2x■■■-3bx■■■

θ1≤x2≤2，-16≤-2x■■■≤-2，又由（1）得-1≤b≤0，0≤-3bx■■■≤12

所以-16≤-2x■■■-3bx■■■≤10，-16≤f（x2）≤10

解法（三）

解：由f′（x）=3x2+6bx+3c，由题意知x1，x2是方程的由3x2+6bx+3c=0两根，

x1+x2=-2b，x1x2=c，f（x2）=x■■■+3bx■■■+3cx2=-■x■■■+■x1x2，

θ1≤x2≤2，-4≤-■x■■■≤-■，又-1≤x1≤0，-6≤■x1x2≤0

-10≤-■x■■■+■x1x2≤-■即-10≤f（x2）≤-■

问题：为何b，x2用表示f（x2）时，证出的范围扩大了，是解法错误吗？但三种方法用的都是同向不等式相加及同向不等式相乘，运算的过程不错，方法也不错，为何范围扩大了呢？

分析错因：

1.在解法（二）中，不妨从不等式等号成立的条件分析，不等式右等号成立的条件是-3bx■■■=12且

-3x■■■=-2同时成立，若结论中右等号成立，由-3bx■■■=12得b=-1，x2=2，由-2x■■■=-2等号成立则x2=1，故同向不等式不能同时取等号，即结论中右等号不成立，同理左等号也不成立。所以不等式的范围扩大了。

2.出现不等式的同向相加，但由第一问的线性规划图知法（一）、（三）正确的原因是同向不等式是同增减，如x1・x2=c则x1=■，当x2则■，而c是负数，所以■即x1，不等式同向相乘时，范围没有扩大，同理-■x■■■与■x1x■■■也是同增减，所以不等式同向相加范围没有扩大，进一步做验证等号能成立。在解法（二）中，当-2x■■■在递增时，-3bx■■■却在递减，同向不等式两边并不同增减，所以不能同时取等号，所以范围扩大了。

例2 若函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）对一切x∈[0，1]恒有|f（x）|≤2，

则a的最大值为（ ）

（A）2 （B）4 （C）8 （D）16

解：Qf（0）=cf（1）=a+b+cf■？摇=■a+■b+c

f（1）-2f■=■a-c，■a=f（1）+c-2f■

|■a|=|f（1）+f（0）-2f（■）|≤|f（1）|+|f（0）|+

2|f（■）|

由已知得：|f（0）|≤2，|f（1）|≤2，|f（■）|≤2

|■a|≤|f（1）|+|f（0）|+|2f（■）|≤8

|a|≤16，a的最大值为16。

在课堂教学过程中，学生在运用同向不等式相加或相乘的有关性质证明不等式与解决关于不等式范围，解决有关最大、最小值问题时，结论时对时错，以及关于求最大最小值问题时，需要到等号成立才会取得最值，这很值教师与学生的重视.教师在教学中必需要求学生一定要考虑问题是否要求不等式等号成立，明确等号何时能成立？而等号成立充要的条件是什么？不等式中的变量是否同增减，范围是否会扩大，多个不等式是否同时取得等号成立等等。所以在本节内容的教学应更重视推理的严谨性，多培养思维的严密性，使学生的数学能力进一步有质的提高。

（作者单位：广西横县中学）