学习一元二次方程常见思维误区分析

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在一元二次方程教学中，常常发现学生在解题时，或遗漏答案，或增添一些不合题意的答案，这些都是影响学生良好的思维品质常见的思维误区。本文就自己在数学教学中的感受谈一谈。学生常见的思维误区有以下几方面：

1 忽视隐含条件

隐含条件通常是指题目中含而不露，没有明确表达出来的条件，要充分揭示出隐含条件，从中找出内在联系，化暗为明，必须具备扎实的数学基础知识和基本技能，以及良好的数学思维能力。

例1：若方程kx2-6x+1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围。

错解：=（-6）2-4×k×1=36-4k

方程有两个不相等的实数根

>0，即36-4k>0 k

误区分析：已知方程有两个不相等的实数根，所以有隐含条件：方程为一元二次方程，即二次项系数k≠0，上述解法正是因为漏掉了隐含条件而导致错误。

正确答案是k

例2：已知关于x的方程x2+2（m+1）x+m2-■=0中，两根

x■+x■=5，求m的值。

错解：x1+x2=-2（m+1），x1·x2=m2-■

x■+x■=5 （x1+x2）2-2x1·x2=5

[-2（m+1）]2-2（m2-■）=5整理得：

m2+4m+3=0解得：m1=-3，m2=-1

误区分析：当条件中给出一元二次方程有实数根时，隐含了方程根的判别式≥0，为保证方程有实数根，在解出k值后必须代入判别式检验以决定取舍，在以上错解后需补充如下，才是正确的。

方程有两个不等的实根

=[-2（m+1）]2-4（m2-■）>0

即2m+■>0 m>-■

m=-3不合m的取值范围，舍去。

m=-1

2 对数学概念缺乏正确的理解

学生对一些数学概念理解较浮浅、片面，未能理解概念的真正涵义。

例3：写出方程6x2=3x+2的二次项，一次项及常数项。

错解1：二次项是6x2，一次项是3x，常数项是2。

错解2：将原方程化为一般式6x2-3x-2=0

二次项是6x2，一次项是3x，常数项是2。

错解3：将原方程化为一般式6x2-3x-2=0

二次项是6，一次项是-3，常数项是-2。

误区分析：上面三种错误是最容易出现的，错解1忽视了二次项、二次项系数、一次项、一次项系数和常数项都是在方程为一般形式下定义的，求解时没把方程化为一般形式；导致错解2的原因是漏掉了各项的符号；导致错解3的原因是混淆了二次项与二次项系数、一次项与一次项系数的概念。

本题的正确解法是：先将原方程化为一般形式6x2-3x-2=0，根据二次项、一次项与常数项的定义可知，二次项为6x2、一次项为-3x、常数项为-2。

3 忽视了解法的依据条件

一道数学题的解法只能在符合一定的依据条件下，才能够运用。依据不清与其它理论依据相混淆，容易出现错解。

例4：解方程（x-1）（x-3）=8

错解：x-1=0或x-3=0

x1=1 x2=3

误区分析：用因式分解法解一元二次方程的根据是：ab=0则a=0或b=0，本题中方程的左边虽然是两个因式的积，但右边是8，而不是0，切勿将（x-1）（x-3）=8与（x-1）（x-3）=0相混淆。

正解：原方程化为一般式x2-4x-5=0

（x-5）（x+1）=0 x1=5，x2=-1

例5：解方程（3x-2）2=2（3x-2）

错解：方程两边都除以3x-2得3x-2=2 x=■

误区分析：上述解法的第一步变形是方程两边都除以（3x-2）所得方程与原方程不是同解方程，不符合方程变形原理，因而导致错误。

正解：移项，提公因式（3x-2）得（3x-2）（3x-2-2）=0

x1=■，x2=■

4 忽视了定理的完整性

对一个数学定理的运用，应注意其完整性，切勿断章取义，盲目运用，以免导致错误。

例6：当k是何值时，方程2x2+（k2-2k-15）x+k=0的两根互为相反数？

错解：由x1+x2=0，得-■=0

解得：k=5或k=-3

误区分析：根据韦达定理，方程两根互为相反数的条件是x1+x2=0且x1·x2≤0，上述解题过程中缺少条件x1·x2≤0，因此导致混入了k=5的错误。

正解：要使方程2x2+（k2-2k-15）x+k=0的两根互为相反数，只需满足：

x1+x2=-■=0x1·x2=■≤0？圯k=5或k=-3k≤0？圯k=-3

当k=-3时，方程的两根互为相反数。

5 忽视特殊解

例7：k为何值时，（k-1）x2-（k-1）x+1>0对于任何实数x恒成立？

错解：要使原不等式对任何实数x恒成立，须

k-1>0=（k-1）2-4（k-1）

解得1

这里学生忽视了特例k=1的情况，正确答案1≤k