巧证勾股定理

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在学勾股定理的时候，我总觉得证明繁琐，倒不如用求阴影部分的面积的方法来证明勾股定理。

如图：是由四个全等直角三角形组成的图形，试求图中阴影部分的面积：

方法一：大正方形的面积减去小正方形面积：

c2-（b-a）2=c2-a2-b2+2ab

方法二：四个全等直角三角形的和：

12ab×4

比较方法一与方法二得出：

c2-a2-b2+2ab=12ab*4

整理上式得：c2=a2+b2（即勾股定理）

这种证明勾股定理的方法，比起常规证明来简单、明了、易懂。

有熔丝时另加），故 R（1）T= R（1）内标-r标=14.4Ω，使（9）式可具体写为 R（1）内=14.4 +r （10）

而r的实际值与电池型号及老化度有关，据测5号普通（锌锰）电池r从新买（E≈1.65V）经标称态（E=1.5V）最后老化到×1Ω档难调零过程中电池内阻值约相应为 r普≈0.4～0.6～1.1Ω：而今已取代它的优质（碱性锌锰）电池的内阻相应为 r忧≈0.2～0.3～0.5Ω（近为前者之半）。

2.3 在×1Ω档求电动势修正值E修。从（1）式已知E的测量值为E测=1.54V， 近标称态， 由上对普通电池取r普≈0.55Ω，用（10）（7）式 [由（4）式知Im 不受r影响， 仍取102mA] 得 E修普（≈E实普）=1.53V，系统误差为E普/E普 =（1.54-1.53）/1.53 =0.7 % ；对优质电池取 r优≈0.28Ω，仿上得E修优（≈E实优）=1.51V，E优/E优=2.0% （若多用表是用2 或1 号优质电池，则r优及E实优会比上再小些，误差会更大些）。

2.4 多用表换到×10Ω档测E。系统误差将减小，其理是： 由（8）式知多用表表内阻R内由两部分合成，即为在电池变化时由E和r共同通过调零（电路）影响R内的和由r 直接影响R内的两部分，（以一般多用表Ω档×1Ω、…×1kΩ四挡共用一个1.5V电池例）前者重显在最高（×1kΩ）挡，R内的变化率R内调/R内最大有百分之几（

3 分析随机误差，算电动势测量的不确定度

3.1 电动势测量的不确定度 今算由仪表基本误差引发的在表针偏转示值（格）时随机误差带来的对E测量的不确定度。其中多用电表调零表针指示满刻度Nm时，随机误差最大值（对C=2.5级电表，下同）达2.5%，不可忽视；同时它还影响对电位器的调节引发表内阻R内的误差，但因实际多用表是分流调零，经算R内 的最大随机误差在×1kΩ档小于0.1%（其它档更小）可略计。故在微分时R内可视作恒量。为便探算沿[解2]思路。先将（5）式写成对数式 lnE =lnIA+lnNm-lnN +lnR内 （11）

对上式两边取微分（代误差），以IA、Nm和N为变量（R内为常量），有 dE/E =dIA/IA+dNm/Nm-dN/N （12）

用U代d表示不确定度，对单次直接测量的不确定度用仪器误差限代之，故有 UIA=C%IAm 和UNm=UN=C%Nm （C为表头准确度等级，同上取C=2.5级），由上[并经（4）式变换] 得电动势测量的相对不确定度式

若沿[解1]思路，先由（3）（4）式得R外=（Im/I-1）R内=（Nm/N -1）R内仿上算得表针示值R外时的不确定度式 UR外，再代到由（1）式算得的对E测量的不确定度式[UE/E ]中（经变换）也可得（13）式 。

3.2 表针最佳示值位置。由（13）式知，为减小[UE/E]，既要求电流表表针示值IA靠近其满刻度IAm ，也要求多用表表针示格N（或电流I）靠近其电流满刻度Nm （或调零电流Im），又因IA=I，这还要求电流表量程IAm选与Im相等或相近。当I（=IA）=Im=IAm时，[UE/E]min=4.3%. （但这是理想值，因电流表有内阻，I

以本题例，将数据（Nm=50.0，N=25.9， IAm=60.0mA，IA=53.0mA）代入（13a）式，得 [UE/E]= 6.1%.

现选IAm近Im（=102mA ）的100mA，若电流表用原表改装，算得内阻 RA=5.6Ω[注2]， 调电阻箱电阻至零，则 R外=RA=5.6Ω，E用修正值1.51v（优质电池），取r≈0.3Ω，由（10）式R内=14.7Ω，再由（1）式IA=I=E/（R内+R外）=74.4mA，后由（13b）式得 [UE/E ]=5.4%（

为减小系统误差，改用×10Ω档时，因该档表内阻较稳定用标称值150Ω，调零电流Im=E/R内=1.51/150=10.1mA，IAm选（近Im的）10mA，同样有当R外（≥RA）愈小，IA（=I）愈近IAm（≈Im）时，[UE/E ]也愈小。

4 为减小测E误差建议调整本题的设置

（1）多用电表换至×10Ω档（为减小系统误差）

（2）电流表应选低内阻且量程宜为10mA [以适应（1）（3）项]。

（3）操作时调节电阻箱电阻使两表针各自指在近电流满刻度处（为减小不确定度）。

[注1] 由题设R（1）内标=15.0Ω， 而 r标=0.6Ω，已算得对优质电池E修优=1.51V近标称态.近取内阻r=0.3Ω， 得在 ×1Ω档 r/R（1）内=（0.3-0.6）/15.0= 2%.

[注2] 由题图2（c）知电阻箱电阻为R0=4.6Ω， 则题中电流表内阻为 RA0=R外-R0=14-4.6=9.4Ω，令n为量程扩大倍数，改装成100mA后电流表内阻变为 RA=RA0/n=9.4/（100/60）=5.6Ω.