未决赔款准备金评估模型研究

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作者简介：张琳，田防科技大学管理科学与工程博士研究生，湖南大学金融学院教授，硕士生平师，中国保险学会理事，研究方向：保险精算；王轶铭，湖南大学金钱学院硕士研究生，研究方向：保险精算。

摘要：未决赔款准备金是非寿险公司财务报表上的一项最为重要的负债项目。随着动态财务分析(DfA)越来越广泛地得到运用，为了获取DFA模型参数和构核模型的需要，精算师越来越关注未决赔款准备金评估精度的衡量。随机准备金评估方法不仅可以得到准备金的估计值，还能够得到评估的精度。运用动态线性模型评估未决赔款准备金可提高评估精度，并能够时模型参数进行校核。

关键词：动态财务分析；未决赔款准备金、链梯法、动态线性模型；Kalman滤波

中图分类号：F840．4　文献标识码：A　文章编号：1008-2972(2006)03-0041-04

未决赔款准备金(Outstanding Loss Reserve)是非寿险公司财务报表上的一项最为重要的负债项目。我国现阶段运用的一般是静态评估方法，得不到准备金评估的精度。近年来在国际精算学界，很多研究人员利用现代概率统计的理论和方法，对此问题进行了深入的研究，England和Verrall，Zehnwirth，Pict和Zehnwirth等发表了大量的文献，深入地讨论了随机准备金的一般框架。[1-3]在我国，刘乐平、袁卫定性地介绍了国外未决赔款准备金评估最新进展。[4]随着动态财务分析(DFA)越来越广泛地得到运用，基于获取DFA模型参数和校核模型的需要，精算师越来越关注精度的衡量。随机准备金评估方法不仅可以得到准备金的估计值，还能够得到评估的精度。本文介绍的随机准备金评估方法是在链梯法的基础上，结合Kalman滤波建立的动态线性模型在未决赔款准备金评估中的运用。

一、动态线性模型

1．链梯法和Kalman滤波

链梯法是从累积赔款流量三角形出发估计未决赔款准备金的一种方法。流量三角形的一般结构如表1所示。

准备金评估最常用的方法就是链梯法，这使我们十分自然地希望能够将随机评估方法和链梯法联系起来。Renshaw和Verrall注意到链梯法和Poisson分布之间的联系。[5]如果对于所有的ij．则可以得出：

式(1)～(3)定义了一个广义线性模型(GLM)，其中每年新发生的索赔额Gij服从复合Poisson分布。由于该GLM模型得出的预报值与简单链梯法几乎一致，这样就得到了链梯法模型的一个动态随机版本――随机链梯模型。在损失流量三角形的基础上，随机链梯法可以估计模型中的参数aijβij,将其代入公式(3)，指数化后就得到我们熟悉的未决赔款准备金评估值。为了充分挖掘历史数据中的信息，Wright和Verrall等都使用了Kalnmn滤波传递在案发年间的信息，以此得到平滑的参数估计。[6-7]Kalnmn滤波在解决矢量的时间序列问题上十分方便，我们注意到从支付年(paymentyear)的角度来看，损失流量三角形中的数据实际上是一个时间序列：

Kalman滤波是20世纪60年代初由于空间技术的发展，为了解决对非平稳、多输入输出随机序列的估计问题，由Kalman提出。以后与布西一起将其推广到一般的连续随机过程。R．E．Kalman的重大贡献是提出了状态空间的方法。其关键和核心思想有三点：(1)状态变量概念的引入；(2)建立了状态变化的模型――状态方程；(3)给出了对状态进行观测的测量方程。由状态方程和测量方程则构成了状态空间模型。

链梯法与Kalnmn滤波相结合构建了动态线性模型(Dynamic Linear Model)，它是由两个方程确定的模型：测量方程描述过程的观测如何随机地依赖于当前得到的状态参数；状态方程描述状态参数如何随时间变化，表示了系统内部的动态变化和随机扰动。模型通过迭代算法，引入先验分布求解。

2．动态线性模型的测量方程

将损失流量三角形中的数据看成是一个时间序列，设t表示第t个支付年(即日历年)。进展年i、案发年i和支付年t之间的关系如图1所示。

同理，可知道任意支付年t，t+l的状态方程。

这样，我们就得到了在随机链梯法基础上的动态线性模型。按照Kalman滤波估计随机参数的递推公式，可以得到参数c，案发年相关的参数ai和进展年相关的参数βi的估计值。我们可以估计各案发年i在进展年j内增加的索赔额和预测的精度。

下面将具体说明动态线性模型如何进行未决准备金评估。

二、实例分析

1．数据来源

因为我国财产保险公司的非寿险精算起步比较晚，历史数据缺失严重。因此本文仅选择了某财产保险公司一“长尾”业务1996年至2002的数据进行分析。

2．数据说明

表2中给出了某财产保险公司一“长尾”业务1996年至2002的损失流量三角形。

表2中每一行i都代表一个特殊的案发年，即财产保险公司承保的损失事故发生年份，用实际周年数1至7代替；每一列i代表特殊的损失进展年，对应损失发生后做出支付的年份。表中的损失支付进展采用非累积形式，以便反映每年实际支付的损失额。显然，进展年1(表中第一列数字)上的损失支付实际上就是在事故发生年支付的损失。在损失流量三角形表中．每一斜对角线上的数字，代表了同一支付年i+j上的损失支付。

3．计算结果与分析

本文使用SAS统计软件和EXCEL软件完成相关的计算。为了比较，我们首先根据公式(3)的随机链梯法对表1的损失流量三角形的数据进行计算，结果如表3所示。

在运用动态线性模型的时候，需要选择随机扰动变量的方差。本文的算例中，选择Var(eij=0．047，Var(at，at-1),Var(β1β1)＝6.636。在使用随机方法评估未决赔款准备金时，精算师可以人为选择随机扰动变量的方差，以方便校核模型；也可以根据先验信息选择随机扰动变量的方差。[1-5]本文根据Verrall的方法[9]择随机链梯法估计的结果作为先验信息来选择随机扰动变量的方差。动态线性模型的参数估计结果如表4所示。

根据表3和表4的比较可知，运用动态线性模型估计参数的标准误要小于使用随机链梯法估计参数的标准误。因为标准误是衡量模型误差的一个统计量，

这就意味着使用动态线性模型评估的各案发年和进展年参数的精度，要高于随机链梯法的评估精度。

我们可以分别将随机链梯法和动态线性模型拟和的结果，换算成大家熟悉的准备金评估值和误差(本文此处选用均方差的开方来表示误差)。[1]结果如表5所示。

根据表5可知，随机链梯法评估的准备金为2227948，误差为488739，动态线性模型的准备金评估值为1822646，误差为399829。动态线性模型估计的未决赔款准备金的均方差开方小于随机链梯法得到的未决赔款准备金的均方差开方，其评估精度明显提高。这主要是因为动态线性模型在随机链梯法的基础上，通过建立状态方程和测量方程，运用Kalnmn滤波，充分地利用了历史数据中含有的先验信息。

此外，动态线性模型的结果还可用来校核有关随机参数的假设。在实践中，精算师可以根据实际情况的需要选择随机扰动变量服从的分布。在本例中，我们假设随机扰动是服从正态分布，做残差正态分布检验的Q-Q图如图2所示。

由图2可以看出，残差点在45°线附近，左右分布比较均匀，因此可以知道在本例中，随机扰动变量服从正态分布。

三、结论

通过以上分析可以知道，动态线性模型评估未决赔款准备金不仅能够得到准备金的估计值，也可以得到准备金评估的精度，还可以对有关随机参数的假设进行校核。由于运用贝叶斯估计理论中的Kalman滤波，更加深入地挖掘了历史数据中的信息，其评估精度得到提高。动态线性模型不仅可以单独运用评估未决赔款准备金，还可以在动态财务分析(DFA)的负债模块中进行未决赔款准备金评估。

加入世界贸易组织后，中国保险业进入全面开放的新阶段，市场竞争日益激烈；外部经营环境也不断变化，自然和人为灾害引起的巨灾损失频繁发生；法律环境的变化也给保险公司的经营带来深远的影响。作为非寿险经营的基础――非寿险精算技术在我国刚刚起步，还不能满足保险公司应对日益激烈的市场竞争和不断变化的经营环境的要求。我们应该积极引进国际先进的精算技术，并在实践中加以运用，才能够帮助保险公司更好地进行经营管理，提高我国非寿险公司的市场竞争力。

参考文献：

[1]Peter D England．Richard J．Verrall．A Flexible Frameworkfor Stochastic Claims Reserving．[J],ASTIN．Vol LXXXVIII，Partl．N0168．

[2]Zehnwirth，Ben．The Chain Ladder Technique-A StochasticModel．Claims Reserving Manual[MI，1989，(2)：11-16．

[3]De Jong．Pier，Ben Zehnwirth．Claims Rescuing State-SpaceModels and the Kalman Filter[J]．Journal of the lnstitute　ofActuaries，1983，(1lO)：157-182．

[4]刘乐平，袁卫．未决赔款准备金估计方法的最新进展[J]保险研究，2002，(11)：12-14．

[5] Renshaw，Arthur E-，Richard J．Verrall．A Stochastic ModelUnderlying the Chain Ladder Technique．Proceedings XXV ASTINColloquium[J]，Cannes，1994：210-225．

[6]Wright，Tom 5．A Stochastic Method for Claims Reserving inGeneral Insurance．Journal of the Institute Of Actiaroes[J]1990，(117)：677-731．

[7]R．J．Verrall．A State Spuce Representation of the ChainLadder linear Model．Jourunal of the Institute of Aetuaries[J]．Part．11l，1989，(16)：589-610．

[8]Zehnwirth，Ben．Kalaman Filters Application to lossReserving．Casualty Loss Reserve SeminmO]．1996：1-41．

[9]R．J．Verrall．A Method For Modelling Varuomg Run-OffEvolution In Claim Reserving．ASTIN BUULLETLN[J]．1994，24(2)：67-91．

责任编校：晓蔚