绳子处处张力一定相同吗

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1 问题的提出

问题 甲、乙双方同学在水平地面上进行拔河比赛，正僵持不下，如图1所示，如果地面对甲方所有队员总的摩擦力为6000 N，同学甲1和乙1对绳子的水平拉力均为500 N.绳上的A、B两点分别位于甲1和乙1、乙1和乙2间，不考虑绳子的质量，下面的说法正确的是

A.地面对乙方队员总的摩擦力为12000 N

B.A处绳上的张力为0

C.B处绳上的张力为6000 N

D.B处绳上的张力为5500 N

错解 因为地面对甲方所有队员总的摩擦力为6000 N，此时正僵持不下，则以甲方所有队员为研究对象，A点处的绳子的张力与地面摩擦力为一对平衡力，即为6000 N，A、B均错；而因为绳子中的张力处处相等，即B处绳上的张力也为6000 N，故选C.

正解 因为拔河比赛时队员在用手拉绳时实际无形中将绳子以每只手为结点“分裂”成许多段绳子，而不同段的绳子的张力将受手拉力的影响一般会是不同的.换个模型来看，如图2所示，因为僵持不下，题中的A点相当于系于固定墙上一点，而图中O1、O2、…、On为甲方队员手握点，其个数由其队员抓法有关，如果双手分开抓，即有两个手握点，如果双手一起合并抓即为一个手握点.这样绳子已被分成AO1、O1O2、…、On—1On多段，显然每段绳子的张力不同，而且AO1段绳子的拉力最大.对AB段绳三力平衡，则B处绳上的张力为5500 N，故选D.

2 问题的剖析与讨论

学生做此题的错误率较高，竟其原因主要是错用“绳子张力处处相等”这一传统结论，许多同学不能洞察实际情况中的变化，本题中绳子已经不仅仅是一段绳索了.而且许多不能深刻理解“绳子张力处处相等”这一结论的来龙去脉，进而死套结论.这就需要对相关知识的教学进行必要的反思，在教与学中寻找错误产生的原因.

2.1 绳子的张力处处相等的附加条件

讨论1 如图3所示，用质量为m、长度为L的质量均匀分布的绳沿着光滑水平面拉动，在绳的一端所施加的水平拉力为F，试分析绳中各处张力的大小分布规律.

分析 以绳整体为研究对象，根据牛顿第二定律得F=ma，以左侧x长的绳为研究对象，绳中距左侧x长处的张力大小T=mLx·a，或者以距右L—x长的绳为研究对象，

F—T=mL（L—x）·a.

总结 绳子的张力处处相等首先应该是同一段绳，不同段绳的张力一般都是不相等的，而同一段绳子的张力处处相等也是有附加条件的，一是理想的轻绳，即绳子的质量不计；在实际习题中我们更多的是研究轻绳问题，因此对其中每段而言，绳中的张力处处相等.二是实际考虑质量的绳，但绳无加速度且水平放置、自由无约束（如不受摩擦力、打结分段等影响），这两个条件满足其一即可.

2.2 静止的绳子的张力也不一定相等

讨论2 如图4所示，一个半径为R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀绳子，其A端固定在球面的顶点，B端恰与桌面不接触，绳子单位长度的质量为ρ.试求绳子A端受的拉力T.

解析 以绳子为研究对象，可采用“微元法”将绳子分成几个小段，任取一小段dl，其所对圆心角为dθ，则dl=Rdθ，dm=ρdl.

de所受张力合力dT=T′—T″=dmg·cosθ，

所以

TA=∫T/20eRgcosθdθ=ρRg.

点评 由于整条绳子不能看成质点，要分析绳子的受力情况，须考虑将绳子分割，使每一小段绳子可以看成质点，分析每一小段边的受力，张力随θ角变化，张力不是处处相等.根据物体的平衡条件得出整条铁链的受力情况.

2.3 加速运动的绳子张力是变化的

讨论3 如图5所示，一根质量为m、长为L的匀质绳子，一端位于光滑的水平桌面上，另一端少许下垂于桌子边缘，并绕过光滑的定滑轮从静止开始下滑.设桌面足够高，则绳在下滑的过程中，滑轮处绳子张力变化的规律.

分析 设绳子的下悬部分和桌面上面两部分的质量分别为m1、m2，由牛顿第二定律得

m1g—T=m1a，

T=m2a，

解得

T=m1m2m1+m2g=m1m2mg，

只有当m1=m2=m2时

Tmax=14mg.

而当m1=0或m1=m时

Tmax=0.

我们可以尝试用Excel作出T—m1的图象，如图6所示.

反思 我们知道，实际绳子是存在质量的，这样每一部分的张力都会受运动状态的变化而影响，而此题中绳索的加速度是越来越大的，这种变加速运动导致滑轮处的绳子张力反而不是单调变化的.从中，我们也才能真正体会到轻绳的含义，如果是轻绳，同一段绳索上的张力将会永远相等，无所谓变化可言，而实际绳相当于是一个质点系，其间的张力逐点是不同的，这也是本次问题讨论让我们得出的对绳子张力的一个全新认识.

3 结语

从以上的讨论与分析可以看出，平时教学要提醒学生慎用教学中现成的物理结论，我们许多结论都基于理想模型的基础上，要知道实际的模型与理想的模型差异可太大了！