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三角函数是高中数学的最重要的内容之一。在新课标高考中,三角函数解答题“跃”于六大解答题之首,或“隐身”于实际应用题中,难度中档,该题既注重三角知识的基础性,突出对三角函数的图象性质和三角恒等变换的考查;又注重三角知识的工具性,突出三角与代数、几何、向量的综合联系,以及三角知识的应用意识。那么在2012年江苏新高考中,三角函数解答题会出现哪些题型呢?愿本文能帮你牢牢hold住这道题。
题型一 三角函数求值问题
【例1】 已知cosα=17,cos(α-β)=1314,且0
(1) 求tan2α的值;
(2) 求β.
解析 (1) 由cosα=17,0
tanα=sinαcosα=437×71=43.于是tan2α=2tanα1-tan2α=2×431-(43)2=-8347.
(2) 由0
又cos(α-β)=1314,
sin(α-β)=1-cos2(α-β)=1-13142=3314.
由β=α-(α-β),得cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)
=17×1314+437×3314=12,β=π3.
点拨 ①给角求值问题,这类问题要找非特殊角之间、非特殊角和特殊角之间的联系,化简中尽量减少角的个数、三角函数的名称,降低三角函数的次数。②给值求角问题,有一个三角函数值利用平方关系求另一个三角函数值时,一定要根据角的范围确定开方后的符号。给值求角问题,要合理选择该角的某一三角函数,在该范围内三角函数是单调的,根据已知三角函数值,尽量缩小角的范围。
题型二 三角函数的图象与性质
【例2】 已知函数f(x)=32sinπx+12cosπx,x∈R.
(1) 求函数f(x)的最大值和最小值;
(2) 如图,函数f(x)在[-1,1]上的图象与x轴的交点从左到右分别为M、N,图象的最高点为P,求PM与PN的夹角的余弦值.
解析 (1) f(x)=32sinπx+12cosπx=sinπx+π6,
x∈R,-1≤sinπx+π6≤1,
函数f(x)的最大值和最小值分别为1,-1.
(2) 解法一:令f(x)=sinπx+π6=0得πx+π6=kπ,k∈Z,
x∈[-1,1],x=-16或x=56,M-16,0,N56,0,
由sinπx+π6=1,且x∈[-1,1]得x=13, P13,1,
PM=-12,-1,PN=12,-1,
cos〈PM,PN〉=PM•PN|PM|•|PN|=35.
解法二:如下图,过点P作PAx轴于A,则|PA|=1,
由三角函数的性质知|MN|=12T=1,|PM|=|PN|=12+122=52,
由余弦定理得cos〈PM,PN〉=|PM|2+|PN|2-|MN|22|PM|•|PN|=54×2-12×54=35.
点拨
本例以三角函数图象为背景考查了三角函数性质,三角恒等变换和向量的数量积运算等基础知识,难度不大,但本例第2小题一题双解,值得同学们细细品味与体会。
题型三 三角函数与平面向量的综合
【例3】 已知向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,sinx),c=(-1,0).
(1) 若x=π3,求向量a、c的夹角θ;
(2) 若x∈-3π8,π4,函数f(x)=λa•b的最大值为12,求实数λ的值.
解析 (1) 当x=π3时,a=32,12,所以 cosθ=a•c|a|•|c|=-321×1=-32,
又θ∈[0,π],故θ=5π6.
(2) f(x)=λ(sin2x+sinxcosx)=λ2(1-cos2x+sin2x)=λ21+2sin2x-π4,
因为x∈-3π8,π4,所以
2x-π4∈
-π,π4.
当λ>0时,fmax(x)=λ21+1=12,即λ=12,当λ
点拨
将向量的坐标设计成三角函数形式,再利用向量的坐标运算法则,把问题回归到“纯三角函数”问题,是这类命题的主要特征。
题型四 三角形中的三角函数问题
【例4】 在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且b2+c2-a2=bc.
(1) 求角A的大小;
(2) 设函数f(x)=3sinx2cosx2+cos2x2,当f(B)取最大值32时,判断ABC的形状.
解析 (1) 在ABC中,因为b2+c2-a2=bc,
由余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA,可得cosA=12. 0
(2) f(x)=3sinx2cosx2+cos2x2=32sinx+12cosx+12 =sinx+π6+12,
A=π3,B∈0,2π3,π6
当B+π6=π2,即B=π3时,f(B)有最大值是32.
又A=π3,C=π3,ABC为等边三角形.
点拨
求解三角形中的三角函数问题,三角形固有的性质和公式不能忽视,如三角形内角和定理、正弦定理和余弦定理等,它们是求解这类问题的“必要工具”。
牛刀小试
1. 在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,向量m=1-sinA,127,n=(cos2A,2sinA),且m∥n.
(1) 求sinA的值;
(2) 若b=2,ABC的面积为3,求a.
2. 南京市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示.经规划调研确定,棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R的圆面.该圆面的内接四边形ABCD是原棚户区建筑用地,测量可知边界AB=AD=4万米,BC=6万米,CD=2万米.
(1) 请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值;
(2) 因地理条件的限制,边界AD、DC不能变更,而边界AB、BC可以调整,为了提高棚户区改造建筑用地的利用率,请在圆弧上设计一点P,使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大,并求最大值.
【参考答案】
1. (1) m∥n,127cos2A=(1-sinA)•2sinA,
6(1-2sin2A)=7sinA(1-sinA)5sin2A+7sinA-6=0,
sinA=35(sinA=-2舍去).
(2) 由SABC=12bcsinA=3,b=2,得c=5,又cosA=±45,
a2=b2+c2-2bccosA=4+25-2×2×5cosA=29-20cosA.
当cosA=45时,a2=13a=13;当cosA=-45时,a2=45a=35.
2. (1) 因为四边形ABCD内接于圆,所以∠ABC+∠ADC=180°,连接AC,由余弦定理:
AC2=42+62-2×4×6×cos∠ABC=42+22-2×2×4cos∠ADC.
cos∠ABC =12,
∠ABC∈(0,π),故∠ABC=60°.
S四边形ABCD=12×4×6×sin60°+12×2×4×sin120°= 83(万平方米).
在ABC中,由余弦定理 AC2=AB2+BC 2-2AB•BC•cos∠ABC=16+36-2×4×6×12=28, AC=27.
由正弦定理asinA=bsinB=2R,
2R=ACsinB=2732=4213,
R=2213(万米).
(2) S四边形APCD=SADC+SAPC,又SADC=12AD•CD•sin120°= 23,设AP=x,CP=y.
则SAPC=12xysin60°=34xy.
又由余弦定理AC2=x2+y2-2xycos60°
=x2+y2-xy= 28.x2+y2-xy≥2xy-xy=xy.xy≤28,当且仅当x=y时取等号,
S四边形APCD=23+34xy≤23+34×28=93,最大面积为93万平方米.
(作者:王佩其,江苏省太仓高级中学)