从一道折叠问题谈起

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折叠问题在中考经常出现，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致这类题失分.笔者从课本的一道折叠习题入手，回顾折叠的本质，再进一步对图形进行变式，达到对折叠有更深入的理解.

一、典例回顾

如图1，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？

证法解析：（1）折叠前后的对应角相等.（2）矩形的对边平行，则内错角相等.

通过此题发现并归纳折叠的实质就是轴对称，因此折叠具有这两个性质：

1.图形的全等性：对应边相等、对应角相等.

2.点的对称性： 对称点的连线被对称轴（折痕）垂直平分.以这个图形作为基础，还会遇到哪些问题呢？

在这几个题的求解中都渗透了常见考点，有借助折叠这种轴对称变换求角度、求线段长，求周长、求面积等基本题目.

那么，当折痕不是矩形对角线时，又会遇到哪些问题呢？该怎样解决呢？

三、图形变式

提示：如图5，连结AC，与GF交于H，由折叠的对称性得AH=CH=5，AHGF，所以CHG∽CBA， 所以GH6=58，所以GH=254，所以GF=152.

解题技巧：利用相似或三角函数，建立方程.当折叠图形变化为正方形、梯形或三角形等其他基本图形时，又会利用折叠和这些基本图形的哪些性质来解题呢？

四、拓展提升

1.如图6，是面积为1的正方形ABCD，M、N分别为AD、BC边上的中点，将点C折至MN上，落在点P位置，折痕为BQ，连结PQ，则MP的长=.

提示：由折叠的对称性得BP=BC=1，又BN=12，所以PN=32，所以MP=1-32.2.如图7，直角梯形ABCD中，∠A=90°，AD ∥BC，将BC边沿CE折叠，使点B与点D重合，若AD=2，AB=4，tan∠BCE=.

提示：如图8，连结BD，则CEBD，又∠ABD+∠DBC=90°，∠BCE+∠DBC=90°，所以∠ABD=∠BCE， 所以tan∠BCE= tan∠ABD=24=12.

解题技巧：利用对称性转化角，

五、中考链接

总之，在解决折叠问题时，要时刻想着：两手都要抓，既要重视“折”，又要关注“叠”；折叠的本质是轴对称（全等性，对称性）.解题关键是利用折叠实现等量转化，涉及到折叠问题的计算时，可根据以下关系建立方程：（1）根据勾股定理得方程.（2）根据相似比得方程.（3）根据三角函数建立方程.另外，还要综合运用三角形、全等形、相似形、四边形和圆等知识，注意隐含的位置关系（折叠后的位置）和数量关系，适当添加辅助线.

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