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方程(组)与不等式(组)是刻画丰富多彩的现实世界数量关系的重要模型,是初中数学的重点内容,在生活中的应用十分广泛.
一、旅游租车问题
例 1某校准备组织290名学生进行野外考察活动,行李共有100件,学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆,经了解,甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李;乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李.
(1)设租用甲种辆汽车,请你帮助学校设计所有可能的租车方案.
(2)如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别是2000元、1800元,请你选择最省钱的一种租车方案.
(1)分析:其中蕴含两个不等式关系:
①两种汽车载的人数不少于290人.②两种汽车载的行李不少于100件.
解:设租用甲种汽车辆,则乙种汽车(8-)辆.
根据题意,得
40+30(8-)≥290,
10+20(8-)≥100,
解得5≤≤6.
因为取整数,
所以=5或=6.
有两种租车方案:①甲5辆 乙3辆 ②甲6辆 乙2辆.
(2)方案①租金为:
5×2000+3×1800=15400;
方案②租金为:
6×2000+2×1800=15600.
故方案①省钱.
二 、商品销售问题
例 2 某商品的进价是2000元,标价3000元,商店决定打折销售,但要求利润率正好是5%,售货员可以打几折销售?
分析:打几折,就是商品原价的十分之几,设打折,则售价为■×原价,题中相等关系是:利润率=■.
解:设售货员可以打折,根据题意,得
3000×■ - 2000=5%×2000
解得 =7.
三、上网问题
例 3 某电信公司开设了甲、乙两种市内移动通信业务.甲种每月缴15元月租费,然后每通话1分钟,再付0.2元话费,乙种不缴月租费,每通话一分钟付话费0.4元,若1个月通话时间为分钟.请你根据一个月通话时间,选择较优惠的通讯业务.
分析:甲用户1个月费用(15+0.2)元,乙用户1个月费用 0.4.
解:设1个月通话时间为分钟.根据题意,得
① 若甲、乙费用相等,则
15+0.2=0.4,
解得 =75.
即=75分钟,两种方式一样.
② 若甲费用大于乙费用,则
15+0.2>0.4,
解得
即
③ 若甲费用小于乙费用
15+0.2
解得:>75
即>75分钟,选甲种费用低.
四、比赛积分问题
例 5 足球比赛的计分规则为:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.一支球队打14场,负5场,共得19分,这支球队胜了多少场?
解:设这支球队胜了场,则平了(14-5-)场.根据题意,得
3+(14-5-)=19,
解得 =5.
五、不满也不空问题
例5 一伙女生住若干间宿舍,每间住4人,剩下19人没房住;每间住6人,有一间宿舍住不满.问有多少间宿舍,多少名学生?
解:设有间宿舍,则有(4+19)名女生.
根据题意,得
6>4+19,
6(-1)
解得 9.5
因为是正整数,所以取10,11或12.
所以有三种可能:①10间宿舍,59名学生;②11间宿舍,63名学生;③12间宿舍,67名学生.
六、配套问题
例6 一张方桌由1个桌面和4根桌腿做成,已知1m3木料可做桌面50个桌腿300个,现有10m3木料,问恰好能做多少张桌子?
分析:题中的相等关系:桌腿=4×桌面
解:设用m3制作桌面,ym3制作桌腿,恰好配成方桌.
根据题意,得
+y=10,
50×4=300y,
解得=6,
y=4.
七、镶嵌问题
例 7如图:用七块大小形状相同的小长方形瓷砖镶嵌后四边形ABCD周长为68的长方形,求长方形的面积.
分析:设长方形长为,宽为y,根据长方形对边相等及公式周长公式列方程组,求出长宽进而求面积.
解:设小长方形长为,宽为y.根据题意,得
2=5y,
2(3+y)=68,
解得=10,
y= 4.
长方形面积=2(+y)=2×10×(10+4)=280.