数学符号语言与学生思维的发展
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斯托利亚尔说：“数学教学也就是数学语言的教学”，学生学习数学在一定程度上可以说就是学习数学语言，学生能准确灵活地掌握了数学语言，就等于掌握数学思维、数学表达和交流的工具。数学语言分为：符号语言、文字语言、图表语言，其中最重要的是符号语言，符号语言是数学世界的本质语言、根本语言。符号语言具有其系统的特定含义，它与自然语言相比，具有简练性、准确性、直观性和形式化的显著特点，反映事物的内在结构和逻辑关系，是对数学对象、数学关系、数学推理过程等作出表达的一种语言形式，是特定思想的载体。可以说数学世界就是由数学符号构成的世界，因为数学世界本身是抽象的、看不见摸不着的，为了把数学概念传播出去，必须借助一种具体的使人能感受到的可代用物即数学符号，作为交流传播的媒介。数学符号语言又分为数字符号：12345……；运算符号：+-×÷……；变量符号：（ ） xy abc ……；相形符号：、∥、、∠……；符号串：a+b=b+a、3+4……
人们常说“数学枯燥、数学难学，更不知道怎样用数学知识解决实际问题”，这是许多学生共同的的心声。这是因为学生没有真正认识、理解数学符号表示的意义，不能够从具体情境中抽象出表示数量关系和变化规律的数学符号，不能够准确地进行数学符号的变换，导致死记硬背概念、定义、定理、法则等，形成机械训练，结果是思维堵塞，头脑僵化，这样的教学严重地抑制了学生思维的发展。数学课程的一个重要任务就是使学生能够感受、拥有和使用数学符号的能力，因为符号语言是人们进行表示、计算、推理、交流和解决问题的工具。
有这样一个数学比喻，数学过程像一条“鱼”，鱼头”是指现实世界，而这条鱼的“中段”便是由各种数学符号及其变换组成的传统意义上的数学，所谓的“鱼尾”是数学的应用。传统的数学教育的一个弊端是向学生提供的多是“鱼的中段”（掐头去尾烧中段）。而今天的数学教育改革，重要的一点就是向学生提供完整的数学经验――既要吃中段，也要尝尝鱼头和鱼尾的味道。这是确保学生学好数学的重要途径。只有亲自尝到鱼头和鱼尾的味道，才能经历数学化的过程，数学化的过程也就是符号化的过程，这样学生才会尝到数学的甜头。
《数学课程标准》也指出；“要让学生从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。”其实学习数学的主要任务就是理解数学符号的意义、会用数学符号进行交流、计算、推理等，会运用数学符号解决实际问题。
一、利用“鱼头”经历符号化过程，培养思维的抽象性、简洁性
在现实世界中，数学对象本身并不存在，数学是一种由人构造的“思想事物”，一种只存在于人头脑中的事物。现实有的只是五个手指头，五双袜子等，而“5”这个数字符号只是思想上的存在，我们无法用手指着一个抽象的数学概念。再如直径为1的圆的周长是字母π，而光靠“看”是不可能发现它是一个无限不循环小数的，即使是著名的毕达哥拉斯也承认自己看不到直角边长为1的三角形的斜边是一个无理数。可是，我们的理性能够帮助我们达到那些肉眼甚至是连仪器也无法看到的地方，这是因为数学是抽象的，撇去了许多具体的属性，在数学世界中，变得更一般化、模式化、符号化、样式化，外延更宽。所以，抽象性是数学的本质属性，然而，教育学原理之一是“直观性”，从17世纪的夸美纽斯一直到20世纪的凯洛夫等教育专家都奉行。那么在教学中，特别是在小学数学课堂中，由于学生的年龄特点，必须寻求一个两者之间协调的表现方式，要让学生经历由具体的、现实的、直观的、可感的生活事实到数学符号化的过程，经历数学的抽象概括过程，即由直观到抽象，由事实到符号的一个过程，这样学生才能理解“5”这个数字符号的含义、理解字母π的含义，学生才真正是在学习数学，才会尝到“鱼头”味的鲜美。
例如，教学苏教版五下《同分母分数加减法》，教师引导学生用加法＋计算爸爸和妈妈共吃多少。
生：3块加1块等于4块，就是块，所以，＋＝，约分后是。
师：老师没有听明白（故意装糊涂），能请你结合具体分数 、
和说说，3块、1块、4块分别表示什么？
生：1块蛋糕占整个蛋糕的，3块就表示3个、1块就表示1个、4块就表示4个。
师：老师这下好像明白了。谁能不借助分饼图，来说说＋
为什么等于？
生：3个加1个等于4个，4个等于。8在这里表示的是平均分的份数，不用相加，3、1、4表示的是分数单位的个数，就要相加。
师：老师这下明白了。谁能撇开＋=这道算式，把刚才这位同学的话总结成一句话？
生：同分母分数相加，分母不加，只加分子……
教师两次“糊涂”的追问、引导，使学生在不自觉中自主地把生活事实转换成了数学语言，学生理解了＋=每个数字符号的真正含义、整个符号串的内涵，理解了同分母分数相加，分母不变分子相加的道理。原来分母表示的是被平均分成的份数， 表示的是分数单位，平均分成的份数不能相加，即分数单位不能相加，所以分母才不会改变，而分子表示的是分数单位的个数，只有表示相同单位的个数才能相加。这样学生经历的是“鱼头”的鲜美味道，是一顿美食，学生对同分母分数加法的计算方法一定终身难忘，记忆犹新，不需要死记硬背。如果教师不进行引导，学生的认知水平只停留在3块饼加1块饼等于4块饼，4块饼就是，学生只能死记概念“同分母分数相加，分母不变，分子相加”的概念，套用公式进行计算。长此以往，学生的思维只能是越来越凝固和呆板。
上面谈的是数字符号方面的抽象过程，字母符号（变量符号）方面的抽象过程同样。学生初学用字母表示数时往往会感到困难，那是因为不理解其字母表示的意义。从研究一个个特定的数到用字母表示一般的数，是学生认识上的一次飞跃，是从算术领域向代数领域一次质的飞跃，深化和发展了学生对数的认识，使得算术中关于数的理论有了一般化、普遍化的意义。引进字母表示数是学习数学符号、学会用符号表示具体情境中隐含的数量关系和变化规律的重要一步。所以教学中要尽可能从“鱼头”引入，从实际问题引入，使学生感受到字母表示数的意义，让学生理解引进字母表示数和其它数学符号一样，都是数学语言，都用来刻画现实世界的各种现实问题的基础语言。
例如学习《用字母表示数》的时候，教师可以用唱儿歌引入：1只青蛙1张嘴2只眼睛4条腿，扑通一声跳下水；2只青蛙2张嘴4只眼睛8条腿，扑通一声跳下水；3只青蛙3张嘴6只眼睛12条腿……师：这样说下去能说完吗？生：说不完。师：那怎么办呢？怎样表示才能让人家一看就清楚、一听就明白？于是引导学生用字母表示青蛙的只数，学生就想到ｎ只青蛙ｎ张嘴，2ｎ只眼睛4ｎ条腿，于是学生明白了当遇到说不清、数不完、道不明、比较复杂的问题的时候，要想办法用一种简洁一点的方式字母来表示。这里要让学生明白字母ｎ表示的是青蛙的只数，表示的是一个数，可以是1、2、3、4、5……任意一个自然数，ｎ也可以换成ｍ、ａ、ｃ、ｘ等其它字母。同时还要让学生理解“2ｎ只眼睛4ｎ条腿”，这里的2ｎ、4ｎ表示的又是一种关系，是青蛙只数与青蛙眼睛、青蛙腿之间2倍、4倍的关系，用字母来表示它们之间的关系比用语言叙述简洁得多、清楚得多、明了得多。这样教学让学生明白字母产生的需要，字母符号可以把一个复杂的生活事实用简便的数学形式表示出来，直观、简明、概括性强，减轻头脑中很多的繁琐工作，学生还明白字母有多种功能，可以代表一个数，组成符号串的时候又表示事物之间的一种关系。
通过这样一个符号化的抽象过程，学生自然就会用字母表示现实世界和各门学科中的各种数量关系。例如，如果白糖每千克a元，b千克自糖的价格是（ab）元；匀速运动中的速度u、时间t，路程s=（ut）；三角形的面积公式是S=1/2ah（a表示三角形某一底边的长，h表示该底边上的高）等等。学生会用字母表示事物之间的数量关系以后，那么解方程就不成问题了，就是用字母表示实际问题中的未知量，利用问题中的相等关系列出等式，再按照数学规则进行运算。归根结底要让学生经历抽象的过程，在具体情境中深刻理解字母符号的生活含义、数学意义，学生自然就学会数学了。其它符号的抽象过程同样如此。
所以，教学中，必须要让学生自己经历概念的抽象概括过程，经历从“鱼头”到“鱼身”的符号化过程，理解数学符号所表示的现实意义、数学意义，同时要让学生理解数学符号是一种数学语言，是研究数学、交流数学、表达数学、运用数学的基础语言，这样学生才会享受到数学的快乐，既培养学生思维的抽象性和概括性，又让学生尝到“鱼头”的鲜美。
二、利用“中段”学会符号变换，培养思维的逻辑性、创造性
从某种意义上说，符号化就是概念化，就是一个数学建模的过程。通过符号活动，人就可以进入符号构成的世界，数学家的工作，从形式上看，就是根据约定的规则对数学符号所做的各种变换，即用各种思想方法对数学符号进行各种组合，组合的结果就是一个个符号串，然后就变成一个个数学领域。符号变换就是根据约定的规则对一些符号进行各种“组织”活动，即一种纯数学内部的“互动”。
例如学生理解了同分母分数加减法的意义，知道了相同计数单位上的个数才能相加减，那么学到异分母分数加减的时候，学生就不会出现1/3+1/2=1/5，他会想到1/3和1/2两个数学符号的分母不相同，也就是单位不相同，不能直接相加。3表示的是平均分成3份，2表示的是平均分成2份，2个数字符号表示的生活实际意义不相同，不能直接运算，就会想到通分，把分母化成相同数字符号后再相加。这就是为什么数学能够训练学生思维的逻辑性，因为数学知识之间具有严密的逻辑体系。同时也是让学生自主探究学习的原因，因为孩子都具有一定的知识基础，只要前面的知识符号化过程抽象得好，后面的数学一定会学得更好，而且会越来越聪明，而不是越来越僵化。
又如，某烤鸡店在确定烤鸡的烤制时间时主要依据的是下表中的数据：烤制3.6千克鸡要多长时间？
引导学生把上述数字符号之间隐含的关系用字母符号表述出来或图表语言转换成符号语言。设鸡的质量为X千克，则烤制时间就是40X+20，那么3.6千克鸡的烤制时间：40×3.6+20=164分。
又如，4个偶数的和是36，这4个偶数分别是多少？此题如果用算术方法直接解答。可能比较烦琐，可以用方程的思想来解答，设第一个偶数为X，列方程为X+（X+2）+（X+4）+（X+6）=36，这就是把自然语言转化为数学符号的组合，然后再根据数学规则进行一系列变换，求出第一个偶数是多少。
数学符号之间的转换（运算、推理、判断以及不同语言形式之间变换等）是丰富多彩的，从学习数学的心理学角度看，不同思维形式之间的转换及其表达方式构成数学学习的核心。把变量之间的关系从一种形式转换为另一种形式、从一种数学语言转换为另一种数学语言这就是数学过程，就是在用数学符号进行数学创造，数学家就是用利用数学符号之间的变换创造出各种迷人的关于宇宙的“数学图案”。如果说音乐家头脑中流动的是用音符谱写的乐句，那么数学家头脑中流动的则是用数学符号写出的符号串及其变换。所以，利用“鱼的中段”，教给学生学会创造符号串，学会符号变换，不但可以培养学生思维的逻辑性和创造性，还能开发智力，增长智慧，使数学真正成为锻炼大脑的体操。
三、利用“鱼尾”进行符号应用，培养思维的灵活性、综合性
形成于斯，发展于斯。数学源于生活，又服务于生活，应用于生活。数学的广泛应用来源于数学的自身特点，数学的抽象关注的是一些事物共有的样式、模式、结构，这是数学过程具有的普遍性，数学通过抽象、符号化过程获得的数学定律、概念、样式等，常适用于许多看似无关的系统，这就是数学的普遍应用性。
然而，以往的教材专门安排了数学应用题来加强数学与生活的联系，但是适得其反，应用题教学出现了“教师难教，学生怕学”的现象，学习的效果也不理想，究其原因是以往的应用题取材比较注重培养学生的认知技能和逻辑思维能力，把实际问题通过抽象、形式化处理后展示给学生，文字叙述语言化，带有明显特殊性的数学问题，直接套用数学模型进行解答，没有情境上的变换，充其量只是会解数学应用题，数学应用题是数学应用的一个阶段，它只是学生了解数学、应用数学的一个窗口。如果将数学应用等同于让学生学会解决各种类型的数学应用题，那么我们培养的学生只是解题的工具，将会失去数学教学鲜活的生命力。由于情境没有变换，学生就会模仿，各种数学语言之间得不到转换，严重影响了学生几种数学语言转换能力的发展，学生当然就无法把不同情境的实际问题与数学符号、数学模型对应起来。
那么如何进行数学符号化的应用？
首先，教师能够创造性地使用教材。要把原有教材中不切合学生实际的应用题换成学生身边熟悉的问题，设置一些生活背景、文化背景，设置不同的情境，使教材走近学生，使学习的材料具有丰富的现实背景，增加信息量。如，苏教版五年级下册第110页的第10题：
刘大爷用15.7米的篱笆靠墙围一个半圆形的养鸡场（如右图）。这个养鸡场的面积是多少平方米？
本题的设计意图是运用圆面积的字母符号公式Ｓ=πr2解决生活中的实际问题，根据书上提供的文字语言和几何图形语言、数字语言，学生用字母公式Ｓ=πr2很容易解答出来，但是学生解答完这个题目以后，并不会留下深刻的印象，因为只是一种机械套用符号公式Ｓ=πr2，并无利用圆面积解决生活中的实际问题的意识，并无数学符号语言之间的转换意识。
于是我进行了这样的转换：抽象的的文字语言全部删除，只留下数字符号语言和小鸡圈的生活场景，把数字符号15.7改为18.84，这样便于数字符号之间的运算，原来完整的鸡圈图拆成两部分（如上图）。
教学时，先出示第一部分生活场景图小鸡和墙，紧接着同时出示数字符号18.84米和生活事实篱笆。
师：同学们，刘大爷要用竹篱笆把这些鸡围起来，你能想到哪些数学问题？
生1：鸡圈围成什么形状的？
生2：怎样围最美观？
生3：怎样围鸡圈面积最大？
师：能否给老大爷提些有益的建议呢？
生1：我想建议老大爷把鸡圈围成长方形，并且尽量长一些，这样墙被尽可能多地占用，可能面积还会大一些。
生2：我反对，墙被占用得多，围得长方形越长，面积会越小，应该是正方形的时候面积最大。
师：这就是刚才一个同学提出的怎样围面积最大的问题，等会儿我们具体研究围成什么形状面积最大。
生3：我想建议老大爷把鸡卷围成正方形，这样方方正正的，很漂亮。
生4：我觉得，如果地方很大的，就把鸡卷围得尽可能大，这样小鸡在里面活动也自由；如果地方较小，靠近路边，就尽可能围成长方形，不影响路边行人走路；如果老大爷爱美，就围成正方形，这样美观。
师：你考虑问题很全面，很周到。
生5：我想建议刘大爷围成半圆形，半圆形也很漂亮，面积不是太大，也不是很小。
师：呵呵！你肯定围成半圆形面积不大也不小？
生5：我想是的。
师：那就请同学们拿起笔来，算一算，到底怎样围面积最大？围成半圆形时面积是不是不大也不小？
通过计算验证，围成半圆形的时候，面积最大。
紧接着，我相机引导学生总结：由此，你们还能联想到什么？能够得到什么规律？学生通过讨论、猜想、验证得出：在周长一定的时候，围成的图形中圆面积最大。这样开发利用教材，学生不仅巩固了圆周长和圆面积的数学符号公式，而且真正学会了数学的符号化应用，能够在生活事实与数学符号之间灵活转换，学会了解决生活中的实际问题。
第二，进行小课题研究。在教学中，可以通过小课题研究，把抽象的数学符号与实际生活相联系起来，让学生在课题研究中，把生活现实转化为数学符号，体验到数学的应用价值，体验到学习数学的意义。例如，学完“比”的知识以后，让学生观察繁忙的十字路口，观察交通堵塞的原因，请学生就改善路口的交通状况提出问题和解决问题的方案。学生们通过半个学期的观察、调查、了解、研究，提出如下的问题和方案：
A、十字路口红、黄、绿信号灯合理的时间比是什么？
通过测量不同时段东西、南北方向的车流量、路口宽度等数量，通过建立合理的红、黄、绿信号灯时间比，使欲通过路口的车辆平均等待时间较短。
B、不同车道合理的速度限制是多少？
通过测量和改进不同车道的速度限制，减少车辆由于平繁变道造成的减速现象，提高道路路口车辆的通过率。
C、各车道的合理路宽是什么？
通过最大限度地利用路面宽度，多设置车道来提高路口的车辆通过率。
通过小课题研究把“比”（A:B）抽象的数学语言转化为生活事实。
数学应用应该是一个动态的思维过程，是学生亲自参与的充满丰富、生动的思维活动过程。应该是在不同情境、不同领域遇到问题时，会应用不同的数学知识和方法、不同的符号语言得出结论、解决问题，这才叫数学应用。
数学符号语言是数学语言的重要组成部分，是人们进行计算、推理、交流和解决问题的工重要工具，具有准确、清晰、简约的特点。教学中要让学生经历从具体情境中抽象出数量关系以及变化规律的符号化过程，理解符号所表示的数量关系和变化规律，会进行符号间的转换，能用数学符号解决不同情境、不同领域的问题，发展学生思维的抽象性、简约性、创造性、灵活性和综合性，同时又能够开发智力，真正提高学生的数学能力。