“整合”打底 高效“亮色”

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复习课是课堂教学的重要组成部分，切实提高复习课的课堂教学效益是减轻学生学习负担的根本． 整合是一种梳理、归整、合并、合成，最后形成一种整体合力的意思． 对知识点的归纳与整合是在对知识点整体掌握之后更高层次的事情，只有对知识整体结构有了清晰的理解才有能力对知识点进行归纳与整合． 在初中数学复习课中的“整合”很有必要，实践证明，探索复习课中的“整合”是让学生走出题海，提高复习效益，做到轻负高质的一条有效途径．

一、 “构建网络”整合章节知识――“系统”整合

上复习课时，老师要帮着学生进行知识点的梳理和分类．因为当无序的知识点接收多到一定程度时，如果没有进行合理的梳理分类、归纳整理工作，那学生也无法使用这些知识，如同有了一座金矿却不知道开启的法门． 零星的知识及其运用如果形成了一个网络系统，知识的内在联系学生就比较容易掌握知识．

如图1，在复习“四边形”这章中，可用下面的框图构建知识网络.

“构建知识网络”是指师生共同将单元中的各个知识点，根据其发生过程和内在联系，通过对知识的分类、整合，构建知识网络，形成知识体系，通过知识网络形成高视角的思维结构，建立整体意识和统一观点．

二、 “题目成串”整合数学题型――“归类”整合

题不在于多，在于精，在于有类有型. 要能触类旁通，还要引导学生将学过的题归类，将要掌握的10题变为1题，300题变为10题，即通过题目归类，整合成串，从而真正做到减轻学生的负担．

每章新课结束后，或期中、期末复习阶段，老师都要对每章或几节内容进行专门复习. 这时老师应把学习过的题目进行归类整理，并且进行拓展．

例如下面4个题目：

例1 如图2，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．

例2 一张四边形纸板ABCD形状如图3，它的两条对角线互相垂直． 若要从这张纸板中剪出一个矩形，并且使它的四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边上，可怎么剪？

例3 如图4，在四边形ABCD中，AC=BD, E，F，G，H依次是AB，BC，CD，DA的中点. 求证：四边形EFGH是菱形．

例4 求证：依次连结正方形各边中点所成的四边形是正方形．

这4个题目均来源于教科书或作业本，是八下“特殊四边形”这章中的重点例题与练习题. 上完这章，师生应该共同归类，整理出这类题目的题型，即中点四边形题型． 并指出，这些中点四边形是怎样的特殊四边形，它由什么决定的？学生将会发现规律：任意四边形所得的中点四边形一定为平行四边形． 若对角线互相垂直，则中点四边形是矩形；对角线相等，则中点四边形是菱形；对角线互相垂直且相等，所得中点四边形是正方形．

归类与整合后，教师不妨让学生做一个如下的题目体验这种题型，同时使学生经历从特殊到一般的解决问题方法，培养学生寻找规律，学会探究知识的能力.

例5 如图5，在四边形ABCD中，AC=6，BD=8，且ACBD，顺次连结四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2……如此进行下去得到四边形AnBnCnDn. （1）写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积；（2）求四边形AnBnCnDn的面积；（3）求四边形A5B5C5D5的周长．

三、 “一题多变”整合思维能力――“变式”整合

在数学课堂教学中，教师若能恰到好处地进行“一题多变”，不仅可以提高教学效果，扩充知识容量，有助于拓展学生思维的广度和深度，而且对促进学生的数学思维能力的培养很有益处． 可是“一题多变”后还可以做点什么呢？变的目的仅仅是拓展吗？其实，那种尽管表面看起来形式并不一致甚至差别很大的问题，但它们的求解思路、解题步骤乃至最后结果却非常相似，甚至完全相同，他们是同一类型问题的相似解法． 如果说，一题多变是拓广思路，培养分析变通能力的有效手段，“一题多变”后的整合则是使知识系统化，提高归纳综合能力、培养应用意识的有效途径．所以讲题，要先变，再进行整合，让学生亲历从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探求“变”的规律，从而激发学生的学习兴趣、进一步提高学生分析、综合、归纳能力．

例6 如图6，分别以ABC的边AB，AC为一边向外作正方形AEDB和正方形ACFG，连结CE，BG． （1）求证：CE=BG.

【变式一：条件不变，探究附加结论】

（2） 观察图形猜想CE与BG之间的位置关系，并证明你的猜想．

（3） 图中哪个三角形是由哪个三角形变换得到？请说出是怎样的变换？

【变式二：添加条件，探究生成结论】

（4） 如图6，AB＝11，AC＝7，连结EG，求BC2+EG2的值．

【变式三：更换条件，探究原生结论】

（5） 把上题的“正方形ABCD，DEFG”改为“矩形ABCD，DEFG（长宽不等）”，上面两个结论还成立吗？若不成立，请问在什么条件下成立？

【变式四：改变条件，挖掘内在联系】

（6） 如图8，分别以ABC的边AB，AC为一边向外作正三角形ABD和正三角形ACE，连结CD，BE． ①求证：BE=DC；②猜想：直线CD与直线BE的夹角．

【变式五：根据结论，探究生成条件】

（7） 如上图，在ABC中，分别以AB，AC，BC为边在BC的同侧作等边三角形ABD，ACE，BCF.

①求证：四边形DAEF是平行四边形；

②探究下列问题：a. 当ABC满足什么条件时，四边形DAEF是矩形？b. 当ABC满足什么条件时，四边形DAEF是菱形？c. 当ABC满足什么条件时，以D，A，E，F为顶点的四边形不存在？

通过上面的变式后，学生会掌握、复习很多知识，我们有必要重新把不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式进行有效整合，原题考查正方形、三角形全等的知识，考查的是几何图形识别、分析以及推理的基础知识和基本技能，当把正方形改为矩形、正三角形，但本质还是运用三角形的全等知识解决，万变不离其宗，所以最后不妨把3个图整合在一起，细细分析变中的不变，从而揭示不同知识点的联系，使学生加深知识的理解与内化，使知识系统化，达到多题归一． 最后总结此题题型为三角形外扩展正三角形、正方形题型，最后可让学生思考可否整合为三角形外扩展正多边形题型．

四、 “题组训练”整合数学模型――“专题”整合

会用数学方法解题的学生不再是“知识型”、“记忆型”的，让学生真正掌握数学方法能提高学生的元认知水平，提高分析问题和解决问题的能力． 在平时的数学复习课中，把数学方法相近的题目编成一组， 设计有层次的系列专题组，由易后难，由浅入深，在看似不同问题之间寻找它们之间的共同点，整合蕴涵在其中的数学方法，让数学方法明朗化．

例如，在复习图形的“剪拼”问题时，不妨设计下列题组：

例7 如图9，有哪些基本图形只剪一刀，可以拼成长方形？（答案见图10）

例8 一般的梯形只剪一刀，能拼成长方形吗？若一刀不行，那么至少要剪几刀才行呢？（答案见图11）

例9 如图12，是由5个相同大小的正方形组成的图形，试问能不能通过剪几刀后拼成正方形？能的话至少需要剪几刀？（答案见图12）

例10 有一个裁缝手里有一块剩余的布料，由大小不同的两个正方形组成，形状如图． 现在他想把这块布料裁开再拼成一个正方形，你有没有什么办法？（答案见图13）

例11 如图14是由8个相同大小的正方形组成的纸片，你能否只剪两刀，将它分成三块，拼成一个大正方形？（答案见图14）

这5个题组成一个题组系列，从“一刀”到“二刀”，从长方形到正方形，图形变化了，但实质不变，即“剪”与“拼”的过程中面积不变，所以例9～例11题都是先构造正方形的边长，再动脑筋进行剪与拼，师生可整合做这类题目的数学方法：面积法． 这样，这类题目学生就能掌握，不同层次的学生也有所得， 从而提高学生复习效益．

又如《中考选择题常用解法》可集中讲中考选择题的各种常用解法：直接法、定义法、特殊值法、验证法、排除法、图解法，并且指出有的选择题往往不止一种方法，可用不同方法用于检验，有时解一个选择题需要几种方法配合使用，即用综合分析法解题．这个专题可全面地讲选择题的多种快速解题方法，并且深刻指出了选择题的特殊性：有题干和选项支构成，所以可以充分利用题干和选择支两方面所提供的信息，考察四个选项之间的异同点及关系、选项与题干的关系等． 这种整合使学生清晰认识到解决问题的策略有多种方式，我们可以用多种数学方法来选择解决问题的策略．

研究复习课的有效性是一个永恒的且有价值的课题，复习课把知识、技能网络化，能提升很多能力，师生在体验数学内在美的同时领悟数学的、生活的魅力与本质，让人其乐无穷．

立足课堂，提高复习效益，走出题海，轻负高质，是我们一直追求的目标． 通过“构建网络”整合章节知识，“题目成串”整合数学题型，“一题多变”整合思维能力，“题组训练”整合数学模型，能引导学生去探索数学问题的规律性和方法，能进一步地熟悉基本知识在解决实际问题中的应用，能更好地掌握数学思想和方法，走出题海战术，真正做到轻负高质． 同时这对激发学生学习的兴趣，培养学生的创造性思维、创新能力、数学素质，都将起到积极的推动作用．