妙用辅助线巧解几何题

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1.作第三线

例1四边形一组邻边的中点的连线平行于另一组对边中点的的连线.

分析：如图1，连接AC，根据三角形中位线定理可证.

图1图22.作第三角

例2设AD为ABC的外接圆的直径，AH为BC边上的高，那么∠BAC的平分线AE二等分AD和AH的夹角.

分析：如图2，连接BD，在ABD和AHC中 因为 ∠D=∠C，∠ABD=∠AHC，所以 ∠BAD=∠HAC.又AE平分∠BAC，因此上题得证

3.作题中的和与差

例3在正三角形的外接圆上任取一点，则这点同较远的一顶点的距离，等于同另外两顶点距离的和.

图3图4分析1：如图3，延长BP到D，使PD=PC，连接DC，要证BP+CP=AP，则只要证BD=AP即可.因为 ∠DPC=∠BAC可推出PDC为正三角形，上题可证.

分析2：如图4，在AP上取AD=PC，只须证PD=PB即可这一问题由BAD≌BCP可证得再由于∠DPB=∠BCA=60°.

可确定BDP为正三角形，因而问题得证.

4.作某角的平分线

例4在ABC中，已知AB=2AC，∠A=2∠B，求证：ABC是Rt.

证明：如图5，作∠A的平分线AD交BC于D，过D作DE平分AB，则ABD为等腰三角形.

所以 DEAB，在RtADE和ADC中，AD公用∠1=∠2，AF=AC 所以 ADE≌ADC所以 ∠ACD=Rt∠，即三角形ABC为直角三角形.

图5图65.题设有两圆相交的可作公切线或连心线

例5两等圆O和O′相外切于P，过切点P作两圆的弦PM、PN，使PMPN，则线段MN为定长，且有定方向.

证明：如图6，过切点P作内公切线PA，连结MO、NO′、OO′，则P点在OO′上，因为∠1=12∠O′ ∠2=12∠O 所以 ∠O′+∠O=2（∠1+∠2）=2∠MPN=180°所以 OM∥O′N 又OM=O′N 所以 OMNO′为平行四边形，而OO′为定长且为定位置.所以 MN为定长且有定方向.

6.有四点可以共圆的，过这四点作辅助圆

图7例6证明从三角形的外接圆上任意一点，向这三角形的各边所作的垂线的三个垂足共线.

已知：如图7，P是ABC的外接圆上任意一点，PDAB ，PEAC ， PFBC.求证：D、F、E三点共线

证明：连结DF、FE、PB、PC 因为∠BDP=∠BFP=90，所以 B、D、F、P四点共圆 于是∠BPD=∠BFD，同理P、F、C、E四点共圆.所以 ∠EPC=∠EFC 又因为∠ECP=∠PBA.所以 ∠BPD=∠EPC.故∠BFD=∠EFC，因为 BFC是直线.所以 D、F、E三点共线.