丰富数学思维活动 培养学生空间观念

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小学“图形与几何”教学主要是在学生已有的知识和经验基础之上，通过观察和操作、比较和分析、抽象和概括、推理和判断等活动，帮助学生认识常见的几何图形和几何体的形状、大小、位置关系、运动方式，使学生更好地认识和描述生活空间，发展空间观念、几何直观和推理能力，以及运用所学知识解决实际问题的能力。研究表明，发展学生空间观念的基本策略是多种多样的，经验的回忆、观察与操作、想象与推理、表达与交流等都是学生感知和体验空间与图形的现实意义，体验数和形的联系，建立空间观念的重要途径和方法。

一、经验是展开几何学习活动的前提条件

学生的几何知识来自丰富的现实原型，与现实生活关系非常紧密。小学生在生活中已经积累了较为丰富的几何经验，这在他们认识和理解几何图形、发展空间观念的过程中起着非常重要的作用，是教师组织教学活动的宝贵资源，也是学生展开几何学习活动的前提条件。因此，激活并利用学生的已有经验来帮助他们认识图形的性质和特征，体验几何学习内容的实际价值是十分必要的。

用量角器量角是小学几何教学中重要的操作技能，而学生在日常生活中一般不会直接接触比较角的大小问题，因此学生缺乏这一方面的直接经验，也没有量角的实际需求，要找到学生熟悉的有关角的度量的生活原型并不容易。北京市第二实验小学的华应龙老师就在他的课堂里“制造”了现实生活中并不存在的两个不同角度的滑梯、使之与学生经验中的滑梯形成鲜明的对比，给学生以视觉上的冲击，不但有效地激活了学生的已有经验，而且启迪了学生的思维。当学生先选择倾斜度最大的滑梯，然后又立刻改变主意选择倾斜度适中的滑梯时，他们已经强烈地感受到角的大小，意识到这三个滑梯的区别在于角度不同。在这一过程中，学生产生了探索量角方法的迫切愿望，并初步体会到角的度量在现实生活中的应用价值。

二、观察是获得空间知觉的必要环节

观察是一种有目的、有顺序、相对持久的视觉活动，是学生了解外部世界不可或缺的一种活动。几何学习中的观察是多样化和多侧面的，主要是通过对具体实物、几何模型、几何图形等材料的观察，形成对研究对象的形状特征及构成要素的认识，获得对研究对象本质属性以及对象性质之间关系的感知。小学生的几何学习往往是从对具体对象的观察开始的。只有通过观察，学生才有可能建立图形的形状、大小和位置关系的表象，才有可能获得对图形性质的理解，才有可能正确把握图形之间的联系。因此，观察是学生获得空间知觉的必要环节，是建立和发展空间观念的重要基础。教学中要组织多种多样的观察活动，有目的、有计划地对学生进行观察方法的指导和良好观察习惯的培养，以提高学生的观察能力，发展空间观念。此外，学生观察的效果与学习材料的呈现方式有关。课堂教学中，既要通过标准图形帮助学生初步建立几何概念的表象，又要注意通过变式图形帮助学生加深对几何概念本质属性的认识和体验。

“三角形的内角和等于180°”是三角形的一条重要性质。由于学生在以前的学习中有过测量三角形三个内角度数的经验，且对三角尺中三个角的度数比较熟悉，让学生正确提出有关三角形内角和的猜想并不困难，但教学中不应以学生能提出猜想为唯一目的，还要注重让学生经历提出猜想的过程，并在这一过程中获得一些直观思考的经验。上海市宝山区第一中心小学的潘小明老师在执教这一课时就精心组织了三个层次的活动。首先，引导学生观察由锐角、直角和钝角画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的过程，讨论“哪个三角形内角度数的和最大”，并针对学生中出现的不同意见，通过观察、比较和想象，引导学生根据“三角形的一个角在变大时，另两个角在变小”的现象，初步形成“三个三角形的内角和可能一样大”的认识。其次，引导学生从已有的学习经验出发，由三角尺上三个内角的和是180°进一步提出“其他三角形的内角和是不是也等于180°”的疑问。再次，引导学生通过观察和想象，进一步发现：钝角越大，另外两个锐角越小；当钝角接近180°时，另外两个锐角接近0°。由此建立“三角形的内角和等于180°”的猜想。整个教学环节，层层深入、步步为营，既关注猜想的结论，更关注提出猜想的过程，使学生在建立猜想的同时，思维能力和空间观念得到了充分的发展。

三、操作是构建空间形式的重要方式

学生学习“图形与几何”，并不是一味地识记图形的形状、名称、性质或量的计算公式，而要通过具体的操作活动去感知、发现，建构正确的空间形式和关系。因此，空间观念的建立只靠观察是不够的，还必须引导学生进行具体的操作活动，在搭一搭、折一折、剪一剪、拼一拼、量一量、做一做、画一画等过程中，视觉、触觉、听觉等多种感官协同作用，完成对具体对象的抽象，形成相应的空间表象，获得对几何知识和方法的理解，建立和发展空间观念。

探索三角形的三边关系是认识三角形的教学难点。一是由于操作或视觉上的误差，有些学生会误认为用10厘米、6厘米和4厘米这样的3根小棒也能围成三角形；二是由于借助直观进行归纳时，学生容易得出“三角形中两条短边长度的和一定大于最长的边”这一结论，而再把这样先入为主的结论引导到“三角形任意两边长度的和大于第三边”上来往往比较困难。因此，组织好学生的操作和交流活动就显得尤为重要。所以在这一课教学中我们对探索三角形三边关系的教学环节做了细致的安排。首先，在呈现操作材料后，是先让学生借助直觉进行判断：从10厘米、6厘米、5厘米、4厘米这4根小棒中任意选择3根是不是都能围成三角形？激发了学生进一步探索的欲望。其次，在讨论用10厘米、6厘米和4厘米这3根小棒能否围成三角形时，一方面让不同意见的学生展示自己的操作过程，使他们在交流与碰撞中逐步形成正确的认识；另一方面通过多媒体的精确演示，明确这3根小棒不能围成三角形的道理，既凸显了学生的主体地位，又充分发挥了教师的主导作用，实现了教与学的和谐统一。再次，完成操作与交流后，教师没有就此归纳三角形的三条边的关系，而是引导学生把3根小棒中任意两根的长度与第三边比较，得到4组算式，并由此发现围成三角形的3根小棒的必要条件，概括出三角形的三边关系。这样为学生提供了足够的探索空间，促使学生展开有效的数学思考，并在观察、操作、比较和交流中自主归纳出三角形的三边关系，有效地发展了空间观念。

四、想象是建立空间观念的关键因素

数学想象是数学思维的基本要素，是数学认知活动中不可缺少的环节。一般来说，在各种数学新观念产生的过程中，或多或少都有数学想象的作用。在几何学习过程中，想象往往伴随着观察、操作等活动展开。学生通过想象能直接、有效地获得图形的形状、大小、位置关系以及物体间距离的表象，形成正确的概念表征。因此，空间想象是小学生几何学习活动中重要的学习方式，是学生发展空间思维、建立空间观念的关键因素。

例如教学正方体的展开图时，学生通过操作得到最基本的正方体展开图后，教师并没有进一步让学生沿着其他的棱把正方体展开，而是引导学生通过观察和想象发现：这个图形中4个连排的正方形可以看做正方体两组相对的面，而正方体上下面“2只耳朵”可以看做另外一组相对的面，使学生对正方体展开图中各个面的分布规律有一个结构性的把握，也为接下来想象展开不同图形的活动积累一定的感性经验。在构造正方体展开图的活动中，教师引导学生围绕“这2只耳朵还可以长在哪儿”的问题展开想象，并通过操作进行验证，使学生在正反例的对比中，发现“有连排4个正方形的图形”是否能折叠成正方体的规律。在此基础上，引导学生把判断一个图形是不是正方体展开图的方法推广到更一般的情况，解决没有4个正方形连排的图形是否能折叠围成正方体的问题，使学生在反复想象和验证的过程中学会判断一个由6个正方形组成的图形能否折叠围成正方体的方法。在这个过程中，想象始终是学生学习活动的主要方式——构造展开图时需要想象“2只耳朵”的位置；判断一个图形能否折叠围成正方体时需要在头脑中尝试将图形进行折叠并找到三组相对的面；完成标注后，需要想象展开图中正方形与正方体各面之间的对应关系。正是因为经历了想象的活动过程，学生才能逐渐积累根据表象展开想象的经验，发展空间观念。

五、推理是发展空间思维的主要渠道

推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。小学生几何学习过程中的推理很大程度上是依赖直观展开的，学生的几何推理能力主要是在图形的变换、转化等过程中得到发展的。教学中，要引导学生在观察、操作、想象和交流中，通过比较和分析、抽象和概括、归纳和类比等活动，逐步认识图形的特征及性质，了解不同图形之间的关系，解释和解答一些简单的几何问题，发展空间观念、几何直观和推理能力。

例如在教学三角形面积计算公式的推导时，引导学生用两个完全一样的锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，通过剪、拼得到平行四边形或长方形后，组织学生对两个问题展开讨论。第一个问题主要是帮助学生建立三角形的底和高与拼成的平行四边形（或长方形）的底和高之间的对应关系，这也是接下来借助直观进行推理的前提条件。第二个问题主要是引导学生进行两个层次的直观推理：一是由剪、拼图形的过程，推出拼成的平行四边形（或长方形）的底和高（或长和宽）与三角形的底和高之间的对应关系，推出三角形的面积公式。这既需要细心的观察和比较，更需要用数学来思考，学生在这一过程中，不仅理解了三角形的面积公式，还从中领悟了转化的思想方法，感受到图形之间的联系，数学思维能力和空间观念得到了充分的发展。揭示三角形的面积公式后，教师进一步引导学生讨论“底×高”算出的是什么，为什么要除以2，为学生进一步强化三角形面积公式的表象提供了机会。

（作者单位：丹阳市正则小学，江苏 丹阳，212300）