两端铰接阶梯形受压柱的平面内弹性稳定
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摘要：本文通过用ANSYS有限元软件计算和能量法对两端铰接阶梯形受压柱进行临界荷载的研究，得出了影响两端铰接阶梯形受压柱的平面内稳定参数，提出了一些有实用价值的结论，可为工程设计提供参考。
中图分类号：TU391
文献标识码：B
文章编号：1008-0422（2008）10-0129-02
1引言
从压杆屈曲的弯矩图可以看出，等截面杆并不是最经济的压杆截面形式。例如承受轴向压力的两端铰接的杆，如减少两端附近部分的材料以增大中间部分的横截面即可增加杆的稳定性，还可达到节约材料减轻自重的目的。在钢结构中，此类杆是常被采用的。由于任何结构体系在荷载作用下都应处于稳定平衡状态，否则，结构一旦进入不稳定平衡状态，稍有干扰，即产生急剧增长的变形，而迅速破坏，因此，为了安全、经济地设计此类结构，需要对其稳定性能进入深入的研究。本文通过ANSYS分析计算和能量法计算两端铰接阶梯形受压柱的临界荷载得出了影响两端铰接阶梯形受压柱的平面内稳定参数，然后通过变化各种参数及对计算长度系数的研究得出了一些有实用价值的结论。
2影响两端铰接阶梯形受压柱的平面内稳定的参数
在此应用平衡分枝稳定理论――在荷载达到屈曲荷载或临界荷载Pcr以前，属稳定平衡，此时体系只在原来的受力状态下变形，如轴压杆只发生轴向压缩，但荷载到达临界荷载Pcr后，原来的受力状态就不能再保持稳定而迅速转入与原来受力状态完全不同的另一种受力状态，如轴压杆发生弯曲或弯曲和扭转，当这种变形大到一定程度后体系就失去承载能力，不考虑初始缺陷，直接采用能量法求出两端铰接阶梯形受压柱的临界荷载Pcr，再根据Pcr的表达式得出影响两端铰接阶梯形受压柱的临界荷载Pcr的各种参数，然后用ANSYS有限元软件进行检验。
按文献[1]，如图la所示下端固定、上端自由的变截面轴心受压构件，构件上下两部分的截面惯性矩分别是I1和I2，用能量法求解屈曲荷载Pcr：假定杆件无初始缺陷和初应力，屈曲时荷载作用方向保持不变；屈曲时杆件只发生平面弯曲变形，且弯曲变形是微小的，忽略剪切变形和轴向变形的影响；材料是无限线弹性的；构件的挠曲线为
（1）
此式符合边界条件 。
任一截面的弯矩为
弯曲应变能为
，
屈曲时压力 （外力）所做的功为
对于两端铰接的三段等截面构件组成的轴心受压构件（图1b），其屈曲荷载和计算长度系数可以直接用式(2)确定，只要在式(2)中用代替 ，以 代替 ，也就是把（2）式的 值减半即可：
具体值，得出如表1所示。
对于两端铰接等截面构件，屈曲时的挠曲线为（1）式所示的三角函数形式。在此对于变截面构件也用此三角函数的挠曲线，则假定的挠曲线可能不是真实的弹性曲线，即存在一定的误差。为对上述能量法进行验证，准确得出影响两端铰接阶梯形受压柱的平面内稳定的参数，本文另应用ANSYS中beam189的变截面单元对两端铰接的三段等截面构件（图1b）进行了分析，在分析过程中通过变换 及求出一些具体杆件的屈曲荷载Pcr，再通过 求出计算长度系数，结果如表1所示。
经过拟合，可得μ的实用计算公式为
（4）
式中 ，。
由上述可得，两端铰接阶梯形受压柱的平面内稳定与 ， ，，， 有关。
由图2～图5可知，用ANSYS分析计算得出的两端铰接阶梯形柱的计算长度系数μ比用能量法计算得出的结果大，即用ANSYS分析计算得出的临界荷载较用能量法计算得出的临界荷载小；由表1、图2～图5可得用能量法计算得出的计算长度系数μ的误差与及有关:当
较小时， 越大，误差越大。这是由于能量法所假定的挠曲线与实际曲线之间存在一定差别，好像在实际构件的横向增加了不少弹性约束，提高了构件的抗弯能力，从而减小了计算长度，提高了屈曲荷载。在
不小于0.2时，用能量法计算两端铰接阶梯形柱的计算长度系数μ或临界荷载具有足够的精度
根据上述分析，在材料一定及 ，
一定的情况下，两端铰接阶梯形柱的平面内弹性稳定或临界荷载仅与计算长度系数μ有关，下面对计算长度系数μ进行研究。
3各种参数下的计算长度系数μ的研究
由表1及式（3）可知，两端铰接阶梯形柱的计算长度系数μ与 及 有关。由图6可得，对于两端铰接阶梯形柱，其计算长度系数μ总大于1.0，即屈曲荷载总小于以阶梯形柱大头截面为横截面的两端铰接截面柱的屈曲荷载；在一定的情况下，当
时，计算长度系数μ随 的增大而急剧减小；当 时，计算长度系数μ随
的增大而缓慢减小；当时，计算长度系数μ基本不变，从而可得；在
一定的情况下，增加可减小计算长度系数μ，即有利于提高构件的稳定性，因此在进行此类结构设计时，为做到最经济，宜使处于（0.2～0.6）。
由图6可得，在 一定的情况下，当时，增大 的长度可使计算长度系数μ减小，即有利于提高构件的稳定性，因此在进行此类结构设计时，为做到最经济，宜使 不小于0.6；当时，增大 的长度，计算长度系数μ减小很少，为做到最经济，宜使 不大于0.6；当
时，为经济起见，宜使不大于0.2。
4总结及结论
本文通过ANSYS分析和能量法计算两端铰接阶梯形受压柱的临界荷载及变化各种影响两端铰接阶梯形受压柱的平面内稳定参数得出以下结论：
4.1两端铰接阶梯形受压柱的平面内稳定与，， ，， 有关。
4.2用能量法计算得出的临界荷载较用ANSYS计算得出的临界荷载大。
4.3在 一定的情况下，增加 可减小柱的计算长度系数μ，因此在进行此种结构设计时，为做到最经济，宜使处于（0.2～0.6）。
4.4在 一定的情况下，在进行此种结构设计时，为做到最经济，当时，宜使
不小于0.6；当 时，宜使 不大于0.6；当时，宜使 不大于0.2。
参考文献
[1] S.P.铁摩辛柯，J.M.盖莱著.弹性稳定理论.北京：科学出版社.1965.
[2] 童根树.钢结构的平面内稳定.中国建筑工业出版社.2005．
[3] 钟善桐.钢结构稳定设计.中国建筑工业出版社.1991，11（1）．
[4] 严剑松.两端铰接楔形压弯杆平面外稳定.硕士论文，浙江大学.2004.
[5] 陈骥.钢结构稳定理论与设计.第二版[M].北京科学出版社.2001.
[6] 夏有斌，潘有昌编.结构稳定理论.高等教育出版社.1989.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”