高中数学中的抱圆守一

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摘 要 本文通过具体例题，揭示了高中数学教学中存在的相似问题同种解法、相同问题不同解法现象。并提出对以上问题的解决途径――“抱圆守一”，即追寻问题的本质，掌握其根本方法。

关键词 抱圆守一 变式发散 类比发散 圆锥曲线 数列

中图分类号：G633.6 文献标识码：A

Keep a Hold Round in High School Mathematics

MA Bin

iangsu Zhenjiang No.1 Senior School, Zhenjiang, Jiangsu 212003)

Abstract In this paper, through specific examples, teaching high school mathematics reveals similar problems exist in the same solution, same problem different solution behavior. And to propose ways to solve the above problems - "keep a hold round", that is to pursue the essence of the problem, master the basic method.

Key words keep a hold round; variant divergence; analog divergence; conic; series

“抱圆”指在具体题目与知识点之间建立联系的基础上进行发散，进而达到圆满之境界。其中的发散既可以是题目的变式发散，也可以是知识点的类比发散。“守一”指在上述的发散思维过程中，我们应注意其中的基础知识点，基本方法，在变化中探寻其中不变的东西，固守其中的根本。

1 相似问题要“抱圆”，相同方法要“守一”

在高中解析几何圆锥曲线的几何性质部分，有如下例题：

例1 （1）已知点(2, )，设是椭圆 + = 1的右焦点，在椭圆上求一点，使|| + 2||最小。

（2）已知点(9,2)，设是双曲线 - = 1的右焦点，在双曲线上求一点，使|| + ||最小。

（3）已知点(2, )，设是抛物线 = 的焦点，在抛物线上求一点，使|| + ||最小。

图1-1 图1-2 图1-3

如图1，例1三个小题分别是寻求三种圆锥曲线上的点到定点距离与到焦点距离的线性和最小值的问题。究其本源来自于初中数学的一个简单结论1：若在直线的异侧，则连结交于，是上所有点中，使 + 取最小值的点。

根据上述结论，由于点与位于圆锥曲线同侧，故考虑将其中之一转化到曲线异侧。由圆锥曲线几何性质 = ，可将转换为点到准线距离（抛物线中 = ）从而变为考虑曲线异侧的两元素最短距离，易知过A作准线的垂线，与圆锥曲线的交点即为所求点。与之类似的还有如下问题：

例2 已知点(2, )，设是椭圆 + = 1的右焦点，是椭圆上的点，求|| + ||的范围。

例2与例1的区别在于缺少了，不能将到焦点距离转换成到准线距离，无法用例1的方法将两元素转换到曲线的异侧。解决本题的根源仍来自于初中的结论2:如图2，若在直线的同侧，则连结并延长交于，是上所有点中，使 - 取最大值的点。

图2 图3

解：|| + || = || + 2a - || = 8 + || - ||

由结论2易知- || ≤ || - || ≤ ||

8 - ≤|| + ||≤8 +

2 相似方法要“抱圆”，相同问题要“守一”

例3 已知数列{}，{}为等差数列，其前项和分别为, ，若 = ，求（1），（2）

解：题（1）是一条经典题型，其常用的解法有

方法一： = = = = = ，

方法二：由 = ( + 1)得 = = =

以上两种方法将等差数列性质与前项和公式，通项公式有机结合，技巧性、综合性强，但不可避免得对等差数列前项和公式的本质揭示不够。于是在原题基础上产生了（2）的变形形式，虽然只有下标的略微改变，但上述方法只能望而却步。采用更本质的方法：

（2）方法三：设 = ( + 1), = (3 - 2)（为常数）,则 = =

方法三对（1）同样适用。

虽然数学问题纷繁复杂，晦涩难懂，但解决问题的本源知识与方法却是简单固定的。“抱圆”“守一”是相对的，是相辅相成的，教学过程中既要注重知识的“抱圆”联系，也要注重揭示方法的“守一”不变，于此知识就能融会贯通，水到渠成，数学才能教得“圆满”。

参考文献

[1] 黄厚忠.初高中衔接教程.东南大学出版社,2008.7.20.

[2] 徐有标.数学思想方法教学实验研究.教育科学研究,1994.4.1.

[3] 赵玉峰.一题多解与多题一法.山东教育学院学报,1996.4.1.

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