等效 第1期

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处理曲线运动问题的基本方法是运动的合成与分解，而运动的合成与分解是在遵从等效性原则的前提下进行的，可见，等效是处理曲线运动的核心思想.

等效思想是在保证某一方面效果相同的前提下，用理想的、熟悉的、简单的物理对象、物理过程、物理现象替代实际的、陌生的、复杂的物理对象、物理过程、物理现象，从而化繁为简，化难为易，以实现问题的顺利解决.

在运动学中，我们用一种（或两种）运动代替另一种运动保持效果不变，就是等效思想的具体体现. 例如，研究一个做变速直线运动的物体在某段时间内的位移. 可以把它等效成一个匀速直线运动，这个匀速直线运动的速度就等于原来变速直线运动的平均速度，这两个运动在同一时间内的位移相同. 在v－t图上，相当于一个矩形面积代替原来曲边四边形的面积，如图1所示.

通常所说的运动的合成与分解，就是一种运动等效变换. 利用运动的合成与分解研究曲线运动的思维流程是：

曲线运动■两个直线运动■曲线运动

对于平抛物体的运动，物体在水平方向不受外力，竖直方向仅受重力作用. 因此可以把平抛物体沿抛物线的运动等效成沿水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动.

斜抛物体的运动，同样可以把它等效成两个较简单的运动，并且根据需要可以有不同的等效方法. 当物体在平面上斜抛时，常见的有两种方法：① 把斜抛运动等效成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的上抛运动；② 把斜抛运动等效成沿抛射方向的匀速直线运动和竖直向下的自由落体运动. 当物体在斜面上斜抛时，也可等效成两个匀变速直线运动.

这就告诉我们在研究复杂的曲线运动时，应依实际情况先把它分解成为等效的两个简单的直线运动，应用简单的直线运动的规律来逐个研究，然后再把这些简单的直线运动综合为比较复杂的曲线运动.

等效思想在实际应用中具体体现为等效法. 运用等效法处理问题的一般步骤可概括为：

（1） 分析研究对象的本质特性；

（2） 寻找适当的替代对象，以保留研究对象的本质特性，摒弃非本质特性；

（3） 研究替代对象的特性及规律；

（4） 将替代对象的规律迁移到研究对象上来；

（5） 利用替代对象遵循的规律、方法求解，得出结论.

等效法在物理解题中有着广泛的应用，现结合《曲线运动》内容介绍几种具体的使用方法.

■ 1. 化曲为直

■ 例1 如图2所示，一辆小车质量为m，在竖直圆筒内沿螺旋线轨道上升，且每运动一周上升的高度为h. 已知运动速率为v，筒半径为R. 试证明小车受到的向心力为Fn=mv2・■.

证明 将螺旋面展开，螺旋线轨道等效为一倾斜轨道，见图3. 可以看出：速度v的水平分量vx=vcos α为小车做匀速圆周运动的速率；竖直分量vy=vsin α为小车匀速上升的速率.

根据牛顿第二定律，向心力可以表示为

Fn=m■=m■.

根据三角函数关系

cos α=■.

所以，向心力为

Fn=mv2・■.

■ 例2 风洞实验室可产生水平方向的、大小可调节的风力. 在风洞中有一固定的支撑架BOC，该支撑架的上表面光滑，是一半径为R的■圆弧面，如图4所示，圆弧面的圆心在O点，O离地面高为2R，地面上的D处有一竖直的小洞，离O点的水平距离为R. 现设法将质量为m的小球沿圆弧面从A点向上滑行，在无风情况下，小球恰好能到最高点C时与圆弧面脱离，则

（1） 小球到最高点C的速度大小是多少？

（2） 当小球滑至圆弧面的最高点C时，让风洞实验室内产生的风迎面吹来，通过调节水平风力F的大小，使小球恰能与洞壁无接触地落入小洞D的底部，此时小球经过D点时的速度是多少？水平风力F的大小是多少？

■ 解析 小球离开圆弧面后，既要受水平方向风力作用又要受竖直方向重力作用，所以做一般的曲线运动，运动轨迹难以确定. 但我们如果采用化曲为直的思想来处理，问题就简单了.

（1） 根据题意，小球恰好到最高点C与圆弧面脱离，则有mg=m■.

所以有v0=■.

（2） 根据小球的受力情况和初速度特点，可以把小球的曲线运动等效转化为水平方向的匀减速运动和竖直方向的自由落体运动，由于小球恰能与洞壁无接触地落入小洞D的底部，可知在水平方向运动到D点时速度减为0，水平方向的加速度大小为a=■.

水平方向v20=2aR，解得F=■mg.

竖直方向v′2=2g×3R解得v′=■.

■ 2. 等效代换

■ 例3 如图5所示，一个人站在地面上，用枪瞄准树上的猴子，当子弹从枪出时，猴子闻声立即从树上做自由落体运动，讨论一下猴子能否避开子弹的射击？

■ 解析 将子弹的运动分解，即用沿v0方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动来等效代换子弹的实际运动，猴子同时做自由落体运动，则在竖直方向上子弹与猴子保持相对静止；在瞄准方向上，子弹相对猴子以v0做匀速运动，所以只要子弹瞄准猴子则相对运动不受地面限制，在不计声音传播时间和空气阻力条件下，用大于某一值的速度（保证在猴子落地前）一定会击中猴子.

■ 例4 如图6所示，在光滑水平桌面ABCD中央固定有一边长为0.4 m的光滑小方柱abcd. 长为L=1 m的细线，一端拴在a上，另一端拴住一个质量为m=0.5 kg的小球. 小球的初始位置在ad连线上a的一侧，把细线拉直，并给小球以v0=2 m/s的垂直于细线方向的水平速度使它做圆周运动. 由于光滑小方柱abcd的存在，使线逐步缠在abcd上. 若细线能承受的最大张力为7N，那么从开始运动到细线断裂应经过多长时间？小球从桌面的哪一边飞离桌面？

■ 解析 小球做的是一种半径在不断变小的曲线运动. 不是我们熟悉的圆周运动模型，但我们可以用等效圆来处理，即用等效圆来代换曲线运动，在运动过程中，小球速度的大小是不变的.

设当细线缠绕到长为L0时，线将断裂. 据向心力公式得：T0=m■.

解得L0=0.29 m.

绕a点转动是做半径为R1=1 m的圆周运动■周直至b点的时间t1=■T1=■×■=0.785 s；

绕b点转动是做半径为R2=0.6 m的圆周运动■周直至c点的时间t2=■T2=■×■=0.471 s；

绳接触c点后，小球应做圆周运动的半径为r=0.2 m，小于L0=0.29 m，所以绳立即断裂.

所以从开始运动到绳断裂经过t=t1+t2=1.256 s，小球从桌面的AD边飞离桌面.

■ 3. 变动为静

升降机中用一轻弹簧竖直悬挂一个质量为m的物体，升降机以加速度a做向上的匀加速运动，地面上的人看到弹簧的弹力T=mg+ma，这是大家熟悉的超重现象. 但站在升降机里的人看到物体是静止的，即处于平衡状态. 弹簧长度的变化又是客观存在的，这时，我们可以视为是地球的重力场突然间发生了变化，即T=mg′=mg+ma，这里的g′=g+a称为等效重力加速度. 于是，一个等效关系自然地建立起来了：

从而实现了“变动为静”的等效变换.

■ 例5 一长为L的细线的一端固定于升降机中的O点，另一端拴住质量为m的小球，现设法让小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，在最高点的速度是v0. 在下列几种情况下分别求出小球运动到最高点时绳对小球的拉力大小.

（1） 升降机以a=g的加速度匀加速向下运动；

（2） 升降机以a=2g的加速度匀加速向下运动；

（3） 升降机以a=g的加速度匀加速向上运动.

■ 解析 升降机在运动，小球又相对于升降机在做圆周运动，这时以地面为参考系来研究就比较困难了，我们不妨以升降机为参考系，即等效变换到变化的重力场g′中来研究.

（1） 升降机以a=g的加速度匀加速向下运动（完全失重），等效重力加速度g′1=0，小球做的是匀速圆周运动，所以最高点时绳对小球的拉力大小为T1=m■.

（2） 升降机以a=2g的加速度匀加速向下运动，等效重力加速度g′2=－g，这就意味着等效重力大小为mg ，方向竖直向上，这时的最高点相当于地面上做圆周运动的最低点――我们称之为物理最低点. 所以在最高点（物理最低点）时T2+mg′2=m■绳对小球的拉力大小为T2=mg+m■.

（3） 升降机以a=g的加速度匀加速向上运动时，等效重力加速度g′3=2g，方向向下. 小球到最高点时，T3+mg′3=m■绳对小球的拉力大小为T3=m■－2mg.