双曲线及其几何性质

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从高考内容上看，双曲线标准方程及几何性质是命题的热点，题型多为客观题，着重考查渐近线与离心率问题，难度不大，但有一定的灵活性.

重点：双曲线的第一、第二定义， 双曲线的标准方程，双曲线的几何性质，轨迹问题等.

难点：a，b，c，e等参数值的求法及其取值范围问题的探讨，直线与双曲线位置关系相关的综合问题.

（1）研究双曲线上的点到其焦点的距离问题时，首先应考虑用定义来解题. 关注定义中的“绝对值”，若定义中去掉了“绝对值”，则点的轨迹是双曲线的一支，由此导致一个点在双曲线的左支和右支上的情形是不同的.

（2）研究双曲线上一点与两焦点组成的三角形（焦点三角形）问题时，在运用定义的同时还会经常用到正、余弦定理.

（3）求双曲线的标准方程．

①定义法：分析题目条件是否满足定义；求出a，b，c；写出方程．

②待定系数法：确定焦点的位置；设出待求方程；确定相关系数；写出方程．

（4）双曲线的几何性质常涉及一些不等关系，例如：双曲线■－■=1中，x≥a或x≤－a，e>1等. 在求与双曲线有关的一些量的范围或与这些量有关的最值时会经常用到这些不等关系.解决双曲线中有关变量的最值与取值范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法． 若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法． 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．

（5）直线与双曲线. 直线与双曲线位置关系的判断：直线与曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中的变量y（或x）得到关于变量x（或y）的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0？圳直线与双曲线相交于两个点；Δ=0？圳直线与双曲线相交于一个点；Δ

（6）直线与双曲线相交时常见问题的处理方法：①涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，设而不求计算弦长. 直线l被双曲线截得的弦长AB=■或AB=■，其中k是直线l的斜率，（x1，y1），（x2，y2）是直线与双曲线的两个交点A，B的坐标，且（x1－x2）2=（x1+x2）2－4x1x2，x1+x2，x1x2可由韦达定理整体给出． ②涉及求平行弦中点的轨迹，求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题时，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．

（1）求双曲线C的方程；

（2）若直线：y＝kx＋m（k≠0，m≠0）与双曲线C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过点A（0，－1），求实数m的取值范围．

思索 ①涉及直线与双曲线相交弦有关的参数范围的问题，Δ>0是必不可少的条件． ②关于直线与双曲线的某一支的相交问题，不但要考虑Δ>0，还要考虑方程根的取值范围.

建议同学们在复习本节内容时重视以下几个方面：

（1）重视定义在解题中的作用，对于双曲线的两种定义，要在训练的过程中加强理解和掌握.

（2）重视平面几何知识在解题中的作用，解题过程中应借助图形分析条件，寻求最优解法.

（3）重视设而不求的整体化处理思想的应用，遇到有关直线与双曲线交点及相关问题时，若解方程组求交点，往往运算量大，易出差错，设而不求利用根与系数的关系便可简捷求解.

（4）重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用．