新课程教学改革下的线性代数课程教学

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[摘 要]本文主要从线性代数课程自身的特点出发，首先指出一般本科院校线性代数课程所面临的实际问题和挑战；其次，结合自身教学实践以及相关理论知识，给出面对这些挑战所采取的应对措施，教学实践证明这些应对措施可以促进线性代数课程教学有效进步。

[关键词]线性代数课程教学 挑战 应对措施

[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2013）012-0073-02

线性代数是代数学中最基础的部分，是理工科各专业和经济类各专业学生的重要基础课之一。线性代数这门课程自身的特点以及当前教育现状给学生和讲授教师提出了较大挑战，从而如何上好线性代数课程，提高教学质量，便是一个值得思考和等待解决的教学问题。

一、线性代数课程教学所面临的挑战

1.线性代数课程自身的特点：抽象概念较多，逻辑思维能力要求较高，计算量较大，造成学生学习难度较大。

2.课时量少。每个高校线性代数课时数都较少，一般为30-40课时之间，造成了课程教学要求和教学课时量之间的矛盾，从而使教师在讲授这门课程时有较大难度和挑战。

3.学生对课程学习的需求与教师对课程教学的期望之间有较大差异。一般本科院校大一新生入学成绩普遍偏低并参差不齐，学生自身所具备的数学思维能力有较大差异，习惯了高中管制学习，学生学习主动性不够，面对大学的自主学习环境无所适从，加之不同专业对线性代数课程的要求也不尽相同，统一的教学内容和教学方法已不能适应各种不同层次学生学习的需要，而对一些特别有潜力的学生，又要为他们创造条件，将他们的代数水平提高到一个更高层次，以上这些问题又对教师提出了新的挑战。

4.线性代数课程讲授教师对课程教学的把握存在一定问题，教师数学教学素质需进一步提高。

二、根据自身教学实践，如何应对以上教学困难，从而提高教学质量

1.基于课程自身的特点，重视课程引入以及抽象概念的引入，易化教学中的相关知识。课程引入需要回答两大问题：一是“从何而来”，即如何从实际问题中抽象出数学概念；二是“有什么用”，即说明基于数学知识得到的结果有什么实际意义。对于课程引入：线性代数研究对象是线性方程组，研究内容是线性方程组解的存在性、解的类型和解的结构问题，线性方程组的有关问题贯穿整个教学始终，对于线性代数课程的引入，国内外大多以线性方程组及其应用作为基本起点，基于这点，线性代数任课教师有必要在第一节课对课程引入作一介绍，而且如何上好第一节课是整个教学过程效果的关键。

对于抽象概念的引入：抽象概念是线性代数的一大难点，因此组织好抽象概念的引入会使教学效果事半功倍，在抽象概念的引入上可以以学生熟知或了解的知识为背景来引入，从而降低概念的抽象性，使概念具体化。例如：（1）矩阵概念的引入：有了行列式为前提，学生很容易将行列式和矩阵混淆，弄不清楚矩阵的本质，因此在教学实践中可以通过一些具体的实例抽象出矩阵的概念是非常有必要的。就以上课班级的基本情况为例得到一个表格如下：

若保持以上数据的排列顺序，将表格第一列第一行以及表格中横竖线去掉，只剩下一组数据，由此便得到了一个简化了的表格，此表格最大特点是最小化地保留了各个内容的相关信息，为了不让每一个数据丢失，通常用“（ ）”括起来，这样的形式便是一个矩阵，这样的引入可以让学生很容易接受矩阵从何而来，也让学生明白矩阵的本质实质上是简化了的表格。（2）矩阵的初等变换的引入：以高斯消元法解线性方程组为前提，通过解线性方程组提炼出线性方程组的三种初等变换，从而对应地得到矩阵初等行变换，这样的引入可以让学生知道初等行变换的由来，比起直接给出初等行变换概念的教学设计让学生更容易接受、记住并且准确地应用于求解线性方程组。（3）向量组的线性相关性的引入： 可以通过两种方式引入，一种方式是从线性方程组出发，如何最大化地减少一个方程组中方程的个数，得到同解方程组；第二种方式可以从零向量的线性表示出发，用两个向量组分别表示零向量，一个组合系数只能为零，另一个系数除了零之外还有其他非零的情况，这样引入的好处可以让学生具体理解线性相关的概念，同时可以做到和前面线性表示知识的有效衔接。当然线性代数抽象的概念很多，如何引入不再一一列举。

2.针对课时量少这一特点，求同存异，在不影响教学基本内容的前提下，根据不同专业的需求适当弱化定理证明，强调知识应用，将一些抽象的证明过程具体化，这样既让学生弄清楚了“从何而来”，又让学生知道“如何去用”。例如：齐次线性方程组基础解系的推导，很多教材都有详细的证明过程，但在讲授的过程中实际上不用对这一证明过程进行详细的说明，只需要通过一两个例子解决以下三个问题：（1）如何去找基础解系？（2）为什么这样找的是基础解系？（3）基础解系的个数是由谁所决定？通过这几个问题的解决便可以完全达到我们的教学目的，教学实践证明学生确实容易接受并且理解这块知识点。

3.恰当使用“启发式”教学方式，培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力。下面结合教学实践，浅谈在教学实践中如何做到“启发式”教学。例如：在讲解矩阵乘法运算时，没有直接给出乘法运算的定义，而是以一个具体班的同学吃早餐的例子引出矩阵乘法，这样可以让学生有一个超前认识，打破学生想象的错误定义，在具体学习乘法定义之前提出了三个问题：（1）两个矩阵A，B满足什么条件时才能相乘？（2）若C=AB，则C的行数和列数与A，B的行数列数有什么样的关系？（3）矩阵C的每一个元素又是怎样通过A，B的元素所得到的？让学生带着问题去学习定义，这样不仅可以让他们准确地学习矩阵的乘法，而且还可以培养学生自学的学习能力。在讲解矩阵对角化的内容时，首先以一个具体的例子为例，解释为什么要学习对角化的内容，再给出矩阵对角化的准确定义，给出定义之后提出三个问题：（1）是不是每一个n阶方阵都可以对角化？若不是必须满足什么样的条件？（2）若n阶方阵A可逆，则对角化定义中的可逆矩阵P和对角阵怎样通过A得到？（3）可逆矩阵A和对角阵唯一吗？他们是否存在某种对应关系？引导学生带着这三个问题去学习，教学实践证明，采用这样的教学方式，学生能更有效地掌握相关知识，优化教学质量。

4.教学过程中注重“对比法”教学方式的运用。将一些容易混淆的概念经常进行对比，例如行列式和矩阵的表示形式和本质的对比；行列式性质和矩阵的初等变换的对比，特别是行列式提公因式、矩阵倍乘变换和数乘运算的对比。

5.教学过程中注重“数学思想方法”的渗透，让学生合上书本之后依旧清晰地记得从这门课程所得到的数学思想。（1）“聚零为整，化整为零”思想。例如：在讲解线性方程组的求解时，可以用“聚零为整”思想将一个个方程聚成一个整体，得到方程组的整体矩阵形式，从而可以利用矩阵的初等变换来解决线性方程组的求解问题；相反地，矩阵的某些问题也可以通过“化整为零”的思想转化为线性方程组进行求解：设A，B分别是m×n，n×t矩阵，AB=0，证明：R（A）+R（B）≤n，此证明过程便使用了“化整为零”的思想，将矩阵关系式AB=0“化整为零”化为n个等式，从而与齐次线性方程组联系，再利用线性方程组的相关理论进行证明。（2）“一般向特殊，特殊向一般转化”的数学思想。例如：矩阵对角化即是将一个一般矩阵向特殊对角阵转化，将一般矩阵的计算问题归结为对角阵研究；化二次型为标准型，也是利用特殊的标准型来研究一般二次型的问题；高斯消元法求解线性方程组也是将矩阵化为特殊的行最简形矩阵，通过特殊的行阶梯形方程组求解一般线性方程组的问题等等。

6.针对课程教学师资不足，缺乏教学经验的现状，可以给每位青年教师配备一位指导老师，通过跟班听课的方式，提前掌握本门课程的教学体系，掌握一些相关教学手段和方法；讲授线性代数课程的老师还可以经常进行教研活动，对某一章节各抒己见，在交流学习中明白“如何上好一门课”。

7.对于课程的考核可以适当改革单一的考核方式。旧的考核体系学生成绩一般由两部分组成：平时成绩（出勤、交作业等平时表现）+卷面成绩（试卷的实际分数），而光靠试卷的实际分数来认定卷面成绩太单一，我们可以适当改革这个单一的考核方式，比如试卷可分为两个相对独立的部分，第一部分为基本理论，采用闭卷考试形式；第二部分为数学实验部分，采用开卷的形式，这样的形式不仅打消了学生考前突击的学习思想，同时讨论的过程让他们学会交流，学会如何通过查找资料的方式解决学习中的问题，这对他们以后的成长是有很大帮助的。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 同济大学数学系.工程数学――线性代数[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2] 杨贤仆.线性代数中“聚零为整，化整为零”的思想[J].西南师范大学学报（自然科学版），2009，（5）.

[3] 梁娜，肖建章.线性代数的教学改革――从抽象到具体[J].咸林学院学报，2010，（6）.

[4] 唐扬斌，陈挚，戴清平.关于线性代数课程引入的思考[J].湖南工业大学学报，2010，（3）.

[5] 王宣欣.线性代数教学方法应用举例[J].高等函授学报（自然科学版），2010，（6）.