数学公式教学既要讲“法”又要讲“理”
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一、问题的提出
很多数学教师在进行公式教学时,常常会发现一个现象:课上自己把公式的推导也讲了,公式的意义也分析了,该补充的习题也让学生练了,学生怎么一到运用公式做题就错呢?甚至即便教师一直在提醒“别忘了这个,别丢了那个”,学生还是一错再错。也有的教师认为,数学公式就是数学规则,就像法条一样,已经是课上公布的“法条标准”了,谁都得无条件遵守执行。对那些“不执行”的学生,只能要求他们“强制执行”,即“死背公式”。
虽然短时间内“死背公式”会有一点效果,但笔者认为这并不可取。法院适用法律尚讲究“法”“理”并重,何况在新课程理念下的公式教学怎么能够只讲“法”,不讲“理”呢?如何改变教师枯燥地讲授、学生机械地模仿计算的教学方式,让学生们在丰富多彩的数学活动中,经历公式的形成与应用过程,从而既懂“法”,又懂“理”呢?笔者经过调查和实验研究认为,公式教学要抓住“真问题”,遵循从特殊到一般,从一般再到特殊的规律。下面以北京市义务教育课程改革数学实验教材第14册第七章《完全平方公式(一)》一节为例加以说明。
二、设计实施
1.发现“真问题”
完全平方公式的掌握对于学生今后学习有关因式分解、解一元二次方程及配方法有重要的意义。教学设计要从学生的真实问题出发,而不是从教材或教师假想的问题出发。教师要注意把握学生固有的知识与新现象、新事实之间的矛盾,引导学生自己发现,或创设情景帮助学生发现矛盾,这样才会引发真实有效的学习活动,才能使学生学有所思,学有所问。
为更好地把握学生的“真问题”,笔者将初一(2)班34名学生定为调查对象,并在公式学习前对他们进行了测试调查。这个班属北京市普通学校,学生基础扎实,喜欢上数学课,但也有一部分学生学习数学还有一定困难,班级中已初步形成合作交流、敢于质疑的良好学风。测试题和统计结果如表1。
数学教学是数学思维活动的教学,进行数学教学设计时自然应考虑学生现有的思维活动水平。从表1可以看出,学生对于多项式乘以多项式及积的乘方掌握较好。可以说,学生在教师的引导下,可以顺利地推导完全平方公式。但有将近三分之二的学生已经对(a+b)2有了错误的意识,这是“真问题”所在,也是本节课的重点和难点。这个问题的原因是学生受到积的乘方公式(ab)2=a2b2和平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的负迁移影响所致。因此,在学习两数和的平方中,教学的重点应从数和形两个层次澄清公式中2ab的产生过程,并让学生与错误意识进行比较,以理服人。另外,从(a-b)2的统计结果看,教学的难点是澄清-2ab及+b2的产生过程。
2.从特殊到一般,再到特殊
课上,笔者设置了这样的情境:一位老人非常喜欢孩子,每当有孩子到他家做客时,老人都要拿出糖果招待他们。来几个孩子,老人就会给每个孩子几块糖。那么,当(a+1)个孩子来时,他们一共会得到多少糖?学生们很快列出算式(a+1)2。接着,按下列步骤展开活动。
【算一算】用多项式与多项式相乘的方法计算。
(a+1)2=
(x+3y)2=
(2m+n)2=
【议一议】以上三个算式结果的三项有什么共同点。
【猜一猜】(a+b)2=
【证一证】(a+b)2=
【拼图游戏】有四张纸片,请用它们为小区设计一个正方形花园。(见图1)
【说联系】图1中的两个正方的面积体现了a2=a×a、b2=b×b,有阴影的长方形面积体现在2ab=ab+ab。
笔者让学生先用多项式与多形式相乘的法则进行特殊的两个数和的平方的计算,如此设计的意图是,使学生初步感觉到结果有三项,与学生前测时的问题初步产生冲突,引起关注、加深印象,更利于学生归纳完全平方公式的结构特点;同时,通过计算,可以使学生感知学习新公式也遵循特殊到一般再回到特殊的认识规律。
在自主探索及合作交流的基础上,学生自主学习(a-b)2,活动与(a+b)2类似。
【猜一猜】(a-b)2=
【算一算】(a-b)2=
【画一画】在边长为a的正方形中,再设计出一个边长为(a-b)的正方形。(见图2)
【议一议】用图形解释两数差的几何意义。
【说联系】比较两个公式结构的相同点与不同点。
三、教学效果
从两次反馈结果看(见表2、表3),一周后,学生再也没有用多项式乘以多项式的方法去计算完全平方的题目,因为学生已经感到完全平方公式的简洁性。但对于完全平方公式中的中间项还存在问题。两次反馈的结果是非常令人满意的。
四、教学反思
1.本节课的优势
苏霍姆林斯基说过这样一句话,当知识与积极的活动紧密联系在一起的时候,学习才能成为孩子精神生活的一部分。只有学生在活动中体脑结合、手脑并用时,他们的兴趣、爱好和个性特长才能得以充分发展。
本节课是完全平方公式教学的第一课时,根据本班学生的具体情况,在习题设计中,笔者大胆舍弃较为复杂、较为灵活的“配方法”的应用,从而在课上有时间、有精力突破及纠正学生的“真问题”,使学生较好地完成学习目标。
完全平方公式属于定理、法则、公式的教学。笔者依据学生现有的数学基础知识和心理特点,安排了算一算――议一议――猜一猜――证一证――拼一拼――说联系等一系列活动,促使学生认识公式的实际背景与形成过程,明白算理,帮助学生克服机械记忆公式的学习方式。
通过几次计算,两数和的平方公式的结构特点已慢慢向学生走近,在经历由具体到抽象、由特殊到一般的计算过程后,许多学生会马上醒悟到(a+b)2≠a2+b2。产生了认知的冲突,学生自己会认识到推导的重要性和必要性。可见,学生在理解公式、法则背后道理的基础上进行记忆才是真正有意义的。教师公式教学中,既要讲“法”,又要讲“理”;既要讲“联系”,又要讲“对比”。这样,学生才能体验数学学习中的探索性和创造性,感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性。
计算和动手拼图双保险的教学活动,较好地突破了(a+b)2公式中2ab的难点,使学生能借助几何图形对完全平方公式建立直观印象;充分调动学生的积极性和好奇心,使学生对公式中的2ab产生更直接、更亲切、更生动地认识。这也是对说“理”的重视。在两个数差的平方公式推导中,学生也能自己说出公式(a-b)2=a2-2ab+b2,-2ab=-ab-ba,+b2=(-b)(-b),及时矫正了课前的错误。而且,可喜的是,学生也学会了用数形结合的方法,对两数差的平方公式作了解释说明(见图2)。(a-b)2的面积(空白处面积)可以表示为边长为a的正方形的面积,减去的两个矩形面积2ab,再加上多减的小正方形的面积b2。讲台上的学生语言准确、清楚,画图清晰、简洁。其他学生频频点头、豁然开朗。
2.学生的真实收获
(1)会推导
一位学生在本节课后写道:“不光要记公式,还要会推导。如果不会推导,久而久之,脑子里的公式就会忘了,题就不会做了。”
(2)能明“理”
一个学生写道:“我对两数差的平方公式,几何意义的表示印象最深,我学会了公式。”
(3)懂算“理”
一位学生写道:“我有了很大收获,虽然课前错了三道题,但我课上都学会了,不仅学会了知识,还增长了技能,我喜欢上数学课。”
还有一位学生写道:“课前用多项式乘多项式的方法很麻烦,上课讲的方法简单,我都能口算做题了。”
在讲了两道完全平方公式的应用后,笔者采用学生编题、学生互动的方式巩固公式。在编题时,有个学生编的题目为(-2x+3y)2,这使笔者大吃一惊。本来是打算在例2才进行的,这突然的变化,使笔者惊喜学生在主动思考,这无疑是一种创新。
数学公式的教学,如果能让学生在数学活动中,会推导公式,会用自己的语言(拼图、画图)阐述公式,明白算理,那么,公式教学会得到意想不到的惊喜。教师不必告诉他们应当学什么东西,他们已有了学习更多知识和更深入研究问题的强烈愿望,笔者相信这种愿望将会永远激励学生不断创新。
3.本节课的不足
学生在当堂反馈中,仍有两个学生用多项式乘以多项式计算,在公式的运用中,有两个学生对公式中“a2,b2,2ab”的意义认识不清;一周后的反馈中,又出现了新的“真问题”,个别学生对公式中2ab的含义还不清楚,个别学生还有符号错误,虽然是个别问题,但又将给教学设计提出新的挑战。
4.课后的思考
对于完全平方公式的教学,笔者仍未找到合理的顺序,是先从公式的推导入手呢?还是先从公式的图型意义出发呢?另外,对于数学规则的教学,除了将抽象的规则转化为具体形象的模型或图表,提供练习与反馈外,还有没有其他的方式方法?这些问题都有待继续深入研究。
总之,新课程给教师留下了广阔的空间,教师在教学中要站在课程标准的角度挖掘教材,设计多渠道的、有挑战的、有意义的数学活动,让学生们充分参与,并帮助学生们在活动中体验、在活动中感悟、在活动中发展。教师要不断启发学生产生探求新知、勇于质疑的强烈愿望。一旦生成这样的愿望,学生就会不断自励,不断创新,从成功走向成功。
(作者单位:北京市石景山区石景山中学)