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已知:关于x的二次函数y=-x2+ax(a>0),点A(n,y1),B(n+1,y2),C(n+2,y3)都在这个二次函数的图象上,其中n为正整数.
(1)若y1=y2,请说明a必为奇数.
(2)设a=11,求使y1≤y2≤y3成立的所有n的值.
(3)对于给定的正实数a,是否存在n,使ABC是以AC为底边的等腰三角形?如果存在,求n的值(用含a的代数式表示);如果不存在,请说明理由.
一、多解思路简析
(1)思路1:点A(n,y1),B(n+1,y2)在二次函数y=-x2+ax的图象上,
y1=-n2+an,y2=-(n+1)2+a(n+1);
y1=y2,
-n2+an=-(n+1)2+a(n+1),
化简,得a=2n+1.
又n为正整数,
a必为奇数.
思路2:点A(n,y1),B(n+1,y2)在二次函数y=-x2+ax的图象上,且y1=y2,
A,B两点关于二次函数的对称轴x=a2对称.
又A,B两点的对称轴为x=n+n+12,
有a2=n+n+12,
a=2n+1.
n为正整数,
a必为奇数.
(2)思路1:当a=11时,y=-x2+11x,y1=-n2+11n,y2=-(n+1)2+11(n+1),y3=-(n+2)2+11(n+2).
y1≤y2≤y3,
-n2+11n≤-(n+1)2+11(n+1)≤-(n+2)2+11(n+2),
解得n≤4.
n为正整数,
n的值为1,2,3,4.
思路2:当a=11时,y=-x2+11x,二次函数的对称轴为x=5.5;当x<5.5时,y随x的增大而增大;当x>5.5时,y随x的增大而减小;
y1≤y2≤y3,
(n+1)+(n+2)2≤5.5,
解得n≤4.
n为正整数,
n的值为1,2,3,4.
图1思路3:当a=11时,y=-x2+11x,二次函数的对称轴为x=5.5.易知,当x<5.5时,y随x的增大而增大;当x>5.5时,y随x的增大而减小.作出图象如图1.
y1≤y2≤y3,
只要在对称轴的左边寻找正整数n的值即可,观察可知n的值为1,2,3,4.
(3)思路1:点A(n,y1),B(n+1,y2),C(n+2,y3)都在这个二次函数的图象上,
y1=-n2+an,y2=-(n+1)2+a(n+1),y3=-(n+2)2+a(n+2),
y1-y2=2n+1-a,y2-y3=2n+3-a.
假设存在以AC为底边的等腰三角形,
AB=BC,
AB2=BC2,
(2n+1-a)2+12=(2n+3-a)2+12,
即2n+1-a=2n+3-a(无解)或2n+1-a+2n+3-a=0,解得n=a-22.
n为正整数,
a-22≥1,解得a≥4且a为偶数.
当a≥4且a为偶数时,存在以AC为底边的等腰三角形,其中n=a-22;其他情况不存在以AC为底边的等腰三角形.
思路2:假设这样的等腰三角形存在,当A,B,C三点在对称轴的同侧时,如图2,过B,C两点分别作x轴的垂线,垂足分别为M和N,过A,B两点分别作BM和CN的垂线,垂足分别为D,E.则AD=BE=1.
AB=BC,
RtABD≌BCE,
∠ABD=∠BCE,
∠ABD+∠EBD+∠CBE=∠BCE+∠EBD+∠CBE=180°,
图2图3
A,B,C三点在同一条直线上,不符合要求.
当A,B,C在对称轴的异侧时,如图3,过A,C两点分别作x轴的垂线,垂足分别为M和N,过B点分别作AM和CN的垂线,垂足分别为D,E,则BD=BE=1.
AB=BC,
RtABD≌BCE,
AD=CE,
AC∥x轴,
AC的对称轴就是二次函数的对称轴,点B应该在二次函数的对称轴上,
y1=y3,有-n2+an=-(n+2)2+a(n+2),化简得n=a-22.
n为正整数,
a-22≥1,解得a≥4且a为偶数.
当a≥4且a为偶数时,存在以AC为底边的等腰三角形,其中n=a-22;其他情况不存在以AC为底边的等腰三角形.
二、错解原因归类
1.错解呈现
(1)错解1:点A(n,y1),B(n+1,y2)在二次函数y=-x2+ax的图象上,
y1=-n2+an,y2=-(n+1)2+a(n+1).
y1=y2,
-n2+an=-(n+1)2+a(n+1),
a=2n-1.
n为正整数,
a必为奇数.
错解2:点A(n,y1),B(n+1,y2)在二次函数y=-x2+ax的图象上,
y1=-n2+an,y2=-(n+1)2+a(n+1).
y1=y2,
-n2+an=-(n+1)2+a(n+1),
n=a-12.
如果a不是奇数,则a-1为奇数,n就不是整数,这与条件n为正整数矛盾,
a必为奇数.
(2)错解1:当a=11时,y=-x2+11x,二次函数的对称轴为x=5.5;作出草图如图1,观察图象结合n为正整数,可知n=1,2,3,4时均满足y1≤y2≤y3,
n=1,2,3,4.
错解2:当a=11时,y=-x2+11x,y1=-n2+11n,y2=-(n+1)2+11(n+1),y3=-(n+2)2+11(n+2).
y1≤y2≤y3,
-n2+11n≤-(n+1)2+11(n+1)≤-(n+2)2+11(n+2),转化为下列3个不等式组成的不等式组:
①-n2+11n≤-(n+1)2+11(n+1),
②-(n+1)2+11(n+1)≤-(n+2)2+11(n+2),
③-n2+11n≤-(n+2)2+11(n+2).
解①得n≤5;解②得n≤4;解③得n≤4.5.
n≤5.又n为正整数,
n的值为1,2,3,4,5.
(3)错解1:由题意,有y1=-n2+an,y2=-(n+1)2+a(n+1),y3=-(n+2)2+a(n+2),y1-y2=2n+1-a,y2-y3=2n+3-a.
假设存在以AC为底边的等腰三角形.则AB=BC,即AB2=BC2,
(2n+1-a)2+12=(2n+3-a)2+12,
即2n+1-a=2n+3-a(无解)或2n+1-a+2n+3-a=0,
解得n=a-22.
存在n,使ABC是以AC为底边的等腰三角形,n=a-22.
错解2:抛物线是对称轴图形,等腰三角形也是轴对称图形,
等腰三角形的对称轴就是抛物线的对称轴,
A,C两点关于抛物线的对称轴对称,
y1=y3.
y1=-n2+an,y3=-(n+2)2+a(n+2),
-n2+an=-(n+2)2+a(n+2),
n=a-22.
存在n,使ABC是以AC为底边的等腰三角形,n=a-22.
2.错因归类
错因1:只顾结论,忽视过程.
在第(1)题中,由于结论是明确的,有些考生认为,只要能得到“a必为奇数”就行,因此忽视了中间说理过程的正确性.如错解(1)中由“a=2n-1”和n为正整数也可以得到“a必为奇数”,但中间运算得到a=2n-1是错误的;错解(2)得出n=a-12后,运用反证法来说理,但已知条件只有a>0,所以不能由a不是奇数,就认为a-1为奇数,错解默认了a为整数.这种结论正确,过程错误的现象很容易麻痹考生,其隐蔽性强,危害性更大.