求与圆有关的阴影部分面积

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求图形阴影部分面积是中考的重要内容之一.这些题目除了考查基础知识之外，还重视对数学方法的考查，对数学思想的理解和应用.现以2013年中考试题为例，对各类解法举例说明.

一、利用面积公式求面积

例1 （2013年重庆卷）如图1，一个圆心角为90°的扇形，半径OA=2，那么阴影部分的面积为（结果保留π） .

温馨小提示： 求图形面积，常用到三角形面积公式、平行四边形面积公式、梯形面积公式、圆的面积公式、扇形面积公式等，我们要熟练掌握这些公式.

二、作差法求面积

例2 （2013年南宁卷）如图2，在边长为2的正三角形中，将其内切圆和三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则此三角形剩下部分（阴影部分）的面积为 .

解：连接OB、OD.

设一小圆的圆心为P，P与O的切点为G；过G作两圆的公切线EF，交AB于E，交BC于F，则∠BEF=∠BFE=60°，BEF是等边三角形.

P是等边BEF的内切圆，点P是BEF的内心，也是重心，

温馨小提示：阴影部分的面积等于三角形的面积减去四个圆的面积.当图形比较复杂时，可以把阴影部分的面积转化为若干个规则图形面积的和或差来计算.

三、利用图形变换法求面积

例3 （2013年大庆卷）如图3，三角形ABC是边长为1的正三角形，与所对的圆心角均为120°，则图中阴影部分的面积为 .

解：设与相交于点O，连接OA，OB，OC，线段OA将阴影的上方部分分成两个弓形，将这两个弓形分别按顺时针及逆时针绕点O旋转120°后，阴影部分便合并成OBC，它的面积等于ABC面积的三分之一，

温馨小提示：阴影部分的面积恰好为三角形ABC面积的三分之一. 当所求的阴影部分的面积与抛物线、双曲线、矩形等图形有关时，常利用平移、旋转或轴对称化零为整，整体求解.

四、割补法

例4 （2013年宿迁卷）如图4，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点.将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是 .（结果保留π）

解：过点O作ODBC于点D，交于点E，连接OC，则点E是的中点，由折叠的性质可得点O为的中点，

温馨小提示：作出辅助线，判断点O是的中点，将阴影部分的面积转化为扇形的面积.割补法可以将不规则图形割补成规则图形，进而转化为熟悉的图形面积求解.

五、利用等积法求面积

例5 （2013年襄阳卷）如图5，以AD为直径的半圆O经过RtABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为，则阴影部分的面积为（ ）.

A. B. C. D.-

解：连接BD，BE，BO，EO.

温馨小提示：把阴影部分的面积转化为和它面积相等的特殊图形的面积，是求不规则图形面积的常用方法.

六、利用设元法求面积

例6 （2013年烟台卷）如图6，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA长为半径画，连接AF，CF，则图中阴影部分的面积为 .

温馨小提示：只要设出小正方形的边长，就可以表示出其他线段的长. 由于点E的变化，引起阴影图形形状的变化，但面积是定值.