高等代数课程中“特征值与特征向量”专题化教学研究与实践

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【摘要】矩阵的特征值与特征向量是高等代数课程中矩阵理论的重要组成部分.本文主要研究了如何把讲解特征值和特征向量这一专题的相关基础知识与数据图像压缩技术这一专题有机地结合起来，使学生对学习数学基础知识产生浓厚的兴趣，并培养学生把理论应用于实践的能力.

【关键词】高等代数；特征值与特征向量；数据图像压缩技术；研究与实践

【基金项目】中国民航大学教育教学研究课题（CAUCETRN2013-68）

一、引 言

高等代数是数学专业的基础课，而特征值与特征向量是高等代数课程中非常重要的一部分内容，在现代科技的信号处理、模式识别、数据压缩技术等各个方面都有广泛的应用，但特征值与特征向量的相关内容比较抽象，学生学习起来没有兴趣，因此有必要研究一下如何讲解才能既提高学生的学习兴趣，又能使学生很好地理解这一部分内容.

目前，随着现代科技的飞速发展，现实生活中有大量的信息是用数据进行存储、压缩、处理和传送，而存储器容量大小、传输带宽、速度等都有一定的限制，所以数据压缩技术很重要.数据压缩技术是信息时代快速发展的核心技术，在图像文件中的应用也很重要.数据图像压缩技术的模型可以通过矩阵的奇异值分解来建立，而这主要依赖于矩阵的特征值和特征向量的相关知识，因此考虑把讲解特征值和特征向量的相关知识与数据图像压缩技术有机地结合起来，以提高学生的学习兴趣，提高学生的学习效果.

本文主要研究在给出数据图像压缩技术原理的前提下，如何把特征值与特征向量基础知识的讲解融会在数据图像压缩技术模型中.把讲解特征值与特征向量这一专题的基础知识与数据图像压缩技术有机地结合起来，在学习基础知识的同时，掌握它们在图像压缩技术中的应用，培养学生把理论知识应用于实践的能力，确实实现数学基础知识的实践化教学.

二、“特征值与特征向量”教学研究与实践

对于数学专业的学生，在实际教学中往往注重学生理论知识的学习，对所学知识的实际应用介绍得很少或没有具体的介绍，这样学生对所学知识只是被动地接受，没有学习的自主性和积极性.针对这些特点，在讲授特征值与特征向量的概念和相关知识时，可以把具体的应用实例引入课堂，让学生在体会到它们的实际应用的基础上，带着问题和兴趣去学习.

具体的教学过程我们可以按照如下几个步骤来进行：

（一）数据图像压缩技术模型的引入

在讲解特征值与特征向量这一内容之前，给学生提供关于数据图像压缩技术的相关资料，让学生通过自主的阅读和学习，初步了解数据图像压缩技术原理和模型，找出与原理和模型相关的未知的概念和结论.为激起学生的阅读兴趣，教师所提供的资料或文献应具有吸引力，并且简单易懂，最好图文并茂.

（二）数据图像压缩技术原理的讲解

在课堂上讲解数据图像压缩技术原理，讲解的过程中可适当进行提问，检验学生阅读资料的效果.在此过程中也可允许学生适量地提出一些问题，以便于把握学生对这一原理的理解程度，进一步明确这一原理需要哪些数学知识做准备，特别是有关于特征值与特征向量的概念和定理的一些知识，使学生带着问题去听课.

（三）特征值与特征向量相关知识的讲解

在前面准备工作做完的基础上，开始系统讲解特征值与特征向量的概念、性质等相关知识，此时，学生的目的比较明确，听课时积极性很高，与老师的互动进行得很好，改变了以往只是被动在听的情况，绝大多数同学都能跟上思路，并能主动地分析问题和解决问题，课堂气氛比较活跃.

（四）作业的布置

通过讲解，学生对数据图像压缩技术原理和模型中有关特征值与特征向量的相关问题已基本理解和掌握，可以布置每名同学选择图像数据，自己建立模型把图像进行压缩并通过计算机进行恢复，把所学数学知识应用于实际，使学生体会到数学基础知识的实际意义.这对今后课程内容的学习有很大的促进作用.

（五）特征值与特征向量在数学中应用的讲解

针对高等代数的课程内容设置，讲解利用特征值和特征向量在矩阵的对角化、二次型的标准化等问题中的应用，进一步让学生体会到特征值和特征向量相关内容的重要性.并向学生表明我们所学的每一个数学知识点都有它重要的理论价值和实际意义，激发学生学习的积极性，变被动学习为主动学习，提高学习效果，培养学生分析问题和解决问题的能力.

三、研究与实践的效果

通过教学实践，这种教学方式取得了很好的效果，主要体现在以下几个方面：

（一）学生普遍欢迎这种新的教学方法，学习兴趣和积极性比以前大为提高.

（二）学生的上课纪律明显好转，自觉性提高，平时不爱学习，成绩较差的同学课堂表现也很出色.

（三）这种教学方式促进了老师与学生的互动，学生可以大胆地提问，并能得到及时的解答，学生普遍反映跟得上老师的思路，觉得数学也很有意思.

（四）由于理论与实际应用的结合，使所学知识掌握得更牢固，分析问题和解决问题的能力得到了提高.

（五）学生增强了自主学习的积极性，经常有学生询问一些关于数学在实际中的应用问题以及教材和课堂以外的一些数学知识，这对于他们参加大学生数学竞赛和大学生数学建模竞赛并取得好成绩有很大的促进作用.

四、结束语

以上是作者通过多年在高等代数课程的教学过程中，不断摸索和研究得到的一点教学经验和体会，希望通过本文，可以对高等代数的教学工作起到一定的促进作用.以上观点和方法仅为一家之说，对高等代数课程教学的探讨是无止境的，只有在教学过程中不断积累经验，不断改革教学方法，通过实践去努力讲好每一节课.