分形修正的立方定律在采动岩体渗流分析中的应用
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摘要：本文利用岩石破断面粗糙度具有分形性质的特性，通过对立方定律中粗糙度系数的分形修正，得到更加精确的渗透系数的求解公式。结合离散元数值模拟对石嘴山煤矿工作面附近采动岩体的最大渗流速度变化进行分析，验证了公式的准确性，得到其渗流规律。此方法对研究煤矿采空区渗流规律具有重要意义，为预防采动岩体裂隙导通而产生突水事故，确保煤矿安全生产提供理论依据。
关键词：分形修正 立方定律 粗糙度
0 引言
构造裂隙多为陡倾角裂隙，本文将其简化为与层面近似正交的裂隙，近似为等距分布。裂隙间距与岩层的厚度之间存在近似线性关系且因地而异。孙广忠对采动岩体等级序的节理裂隙作了大量统计研究，指出采动岩体的节理裂隙等间距性的广泛存在并与其所切穿的岩层厚度有关，节理间距大体为切割岩体厚度的1/2，多数为1/1。吴占寿也对节理裂隙的等间距分布作了研究，节理裂隙的等间距确实存在，并指出影响节理裂隙间距大小的因素很多，对于具体地方所得到的定量关系也不尽一致。综上所述，采动岩体的渗流可看作是层面裂隙和构造裂隙所组合的裂隙网络系统为渗透介质的渗流问题。本文运用离散裂隙网络的方法对采动岩体的渗透特性进行了初步探讨。
1 分形描述的节理粗糙度公式
裂隙的几何形态和空间展布特征造成了岩体渗透性具有分布的高度非线性和明显的各向异性。裂隙的粗糙度和裂隙水力开度同样对渗透性具有重要影响。
首先，假定采动应力场变化只引起裂隙开度发生变化，而岩石变形导致的裂隙粗糙度变化可以忽略不计。
Louis假设水流服从Darcy定律，根据单相，无紊乱，粘性不可压缩介质的Navier-Stokes方程，得到了立方定律的修正式。
根据Louis的立方定律修正式，得到裂隙面相对粗糙度修正系数C：
C=1+8.8■■ （1）
D■=■ bm——有效隙宽
根据杜时贵等推导的结构面粗糙度系数Barton直边法简明公式
JRC=400■ （2）
把公式（2）带入公式（1）：
C=1+8.8■■■■ （3）
周创兵对拉西瓦水电站坝址区花岗岩裂隙进行了分形测量，得到分形维数与粗糙度系数之间的统计关系为：
JRC=■ （4）
并对各种经验关系式做了进一步的回归分析，得到
JRC=479.369D-1■ （5）
结构面粗糙度两个方向上分形维度Hurst维数可以用下面的方法描述：
H2D（θ）=（a1cosθ+b1sinθ）+（a2cos2θ+b2sin2θ） （6）
其中，a1=■，a2=■，b1=■，b2=■
■
根据由分形理论可知，一个分形体在E维欧式空间的维数一般可以表示为：
D=E+H （7）
式中，E表示欧式维数。那么对于粗糙表面，E=2，则上式应写为：
D=2+H （8）
把公式（7）和公式（6）带入公式（5）得到：
JRC=479.369[1+（a1cosθ+b1sinθ）+（a2cos2θ+
b2sin2θ）]1.0566 （9）
把（9）带入（3）可以得到最终的结构面粗糙度分形修正系数C*，把C*带回Louis立方定律公式得到一组平行裂隙分形描述的立方定律公式：
Kf=■ （10）
β——裂隙内连通面积与总面积之比（连通系数）；
S——裂隙平均间距。
岩石的损伤断裂破坏同其内部微裂隙结构特征有密切的关系，因此结构面粗糙度是岩石的固有属性，只依据岩性不同而改变，不会因为形状、大小而发生变化。岩石断面具有分形特征，结构面粗糙度分形修正系数很好地反映了岩石结构面这一属性。
另外，岩石裂隙具有各向异性，而二维分形Hurst维数定量的描述了沿两个方向都变化的整个裂隙面粗糙性，因此，公式（10）对渗透性的计算更加精确。
2 采动岩体渗流-应力耦合研究
对于给定的工程岩体，影响岩体渗流的主要是岩体裂隙的隙宽。当外部应力环境发生变化时，将导致岩体裂隙发生变化，从而对岩体的渗透特性产生较大的影响。
由于不同年代地质构造，岩体被大量结构面切割，这些裂隙虽然杂乱无章，但却有一定规律，往往由几组平行的裂隙所切割。所以可以将岩体裂隙假设为平行、等间距、等隙宽的几组裂隙进行理论研究。由于岩块的渗透性远远小于裂隙的渗透性，研究中常常忽略岩块的渗流，认为水仅仅在裂隙中流动。采用这些假设后，根据公式（10）得到一组平行裂隙的渗透系数：
K0=■ （11）
当垂直裂隙方向的应力变化为Δσ时，其产生的位移为：
Δu=Δε■+■■ （12）
单裂隙水力渗透系数为：
k=k■1+Δε■+■■■ （13）
由于裂隙宽度b与裂隙间距s相比无穷小，可以忽略，上式变为[13]：
k=k■1+Δε■■■ （14）
经化简，上式变为：
k=k■1+■■ （15）
2.1 自重力引起的裂隙变形 自重应力引起的在裂隙尖端x=±c处产生的张拉位移为：
δ■=■■ （16）
自重应力引起的裂隙变形，考虑单一裂隙在采动作用下的位移特征。此问题可以应用S.L.Crouch提出的位移不连续法。节理裂隙两侧相对位移可视为不连续位移，裂隙位移可表示为：
u1=■ （17）
2.1.1 裂隙的隙宽变化 综合考虑前面讨论的两种情况，可得由开采应力引起的裂隙在垂直裂隙面方向的位移为：
Δb■=δ■+u■=■■+■ （18）
2.1.2 裂隙渗透系数变化 将式（18）带回式（15），可得采动应力引起的渗透系数变化值。
Kσ=K01+■■+■■ （19）
当采动应力造成的裂隙尖端破坏程度较小时，a≈c，上述公式可变为：
Kσ=K0[1+■] （20）
具体到采动岩体，原岩应力σn=γh，假定裂隙面与水平面夹角为θ时，则不同埋深的岩层渗透系数为：
Kh=K01-■■ （21）
由式（21）可以看出，随着埋深的增加，渗透系数逐渐减小，这与现实情况是相符的，由于岩体在地表的渗透系数很容易获得，所以通过上述公式可以求得地下任意深度岩层的渗透系数值。
2.2 水压引起的裂隙变形 在采动过程中，饱和岩体裂隙中存在的水压力将会对裂隙面上的每一点形成一个均匀的压力荷载，在这种水压力作用下，裂隙将会有一种张开的趋势，同样利用Paris位移公式求解：
δ■=■■ （22）
可以看出，水压力越大，裂隙尖端的张开位移越大。
在裂隙内部法向作用有水压p时，水压力引起的裂隙张开位移为：
uw=■ （23）
则综合考虑前面讨论的两种情况，得到由水压引起的裂隙张开位移为：
Δb■=δ■+u■=■■+■ （24）
将式（24）带回式（15），可得采动应力引起的渗透系数变化值。
K■=K■1+■■+■■ （25）
当采动应力造成的裂隙尖端破坏程度较小时，a≈c，上述公式可变为：
K■=K■1+■■ （26）
根据式（26）可以看出，随着水压的增加，渗透系数增加的幅度很大，室内试验表明，随着水压的增加，裂隙岩样的渗透性明显地增加。
2.3 裂隙岩体渗流特征与应力的关系 综合考虑开采应力和水压的联合作用，裂隙岩体的渗透系数为：
K=K■+Kσ=K01+■■+■ （27）
具体到采动岩体，在自重力影响下，不考虑裂隙端部破坏引起的裂隙位移，则有：
Kh=K01+■■ （28）
3 算例
以石嘴山煤矿为例，用分形修正的立方定律计算采动覆岩的渗透系数，分析采动岩体中的渗流行为。
根据对石嘴山煤矿覆岩不同性质岩样的室内渗流试验结果，并应用分形修正的立方定律计算得到石嘴山煤矿采动覆岩的渗透系数见表1。
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裂隙初始开度b=0.01mm，裂隙水密度取γw=1.0×103kg/m3，水的动力黏滞系数μ=1.0×103。根据石嘴山煤矿柱状图，计算不同深度岩层的渗透性，并用离散元数值模拟。
根据数值模拟结果，采动渗流岩体基本可以分为四个区域：贮水区、渗流屏蔽区、定向渗流区和完全渗流区。渗流屏蔽区由渗流关键层组成，随开采渗流关键层的破断，渗流屏蔽区可能转化为定向渗流区。而完全渗流区后方随开采裂隙的逐渐愈合会转化为渗流屏蔽区。
根据分形修正的立方定律结合离散元数值模拟，得到工作面附近采动岩体的最大渗流速度变化如图2所示。
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4 结论
本文利用岩石破断面粗糙度具有分形性质的特性，通过对立方定律中粗糙度系数的分形修正，得到更加精确的渗透系数的求解公式。
4.1 分形修正的渗透系数在岩石裂隙面的两个方向上描述其渗透性，相对于以往理论解的渗透系数更加精确。
4.2 通过应力与渗透性的耦合，得到不同深度条件下的岩层渗透系数，结合离散元数值模拟，得到采动岩体的渗流规律：
①随着工作面远离切眼，开切眼附近围岩的裂隙导水能力逐渐减小，最终达到稳定，但渗透能力只是初始渗透能力的几分之一。也就是说，在煤层开采工程中，只要开切眼在初始没有突水，那么在以后的开采过程中，在切眼一侧发生顶板突水的可能性更小。
②随着工作面推进，工作面附近的采动覆岩的导水能力逐渐逐级递增，直到主关键层破断，发生顶板突水的可能性最大。工作面继续推进，工作面附近采动覆岩的导水系数又开始逐渐降低，最终达到稳定。
③当导水裂隙发育达到一定程度后，随着工作面推进，采动覆岩的导水裂隙在工作面后方约60m的采空区内逐渐进入压实阶段，裂隙导水能力逐渐下降。直至几乎完全闭合，从导水能力来讲，不再作为突水通道威胁采场的安全。
参考文献：
[1]孙广忠.地质工程理论与实践[M].北京：地震出版社，1996.
[2]卢刚，周志芳.裂隙网络渗流理论的软硬互层状岩体渗流分析[J].水电能源科学，2006，24（4）：41-42.
[3]J.Bear，Dynamics of Fluids in Porous Media，American Elsevier，New York，1972.