点击平面向量数量积的五个结论(全文)

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平面向量的数量积是平面向量的重要内容，由它推出的五个重要结论应用特别广泛，且是高考的热点，现拟例说明?郾

例1 已知向量a与b的夹角为120°，|a|=3，|a+b|=■，则|b|= ?郾

解析|a+b|2=（a+b）2=a2+2a・b+b2=9+2×3×|b|cos120°+|b|2=13，整理得|b|2-3|b|-4=0，（|b|+1）（|b|-4）=0，解得|b|=4?郾

点评结论一是有关向量问题最常用的性质，有关向量的模的问题常常利用此结论求解?郾

例2 已知向量a=（■，■），b=（■，-■），那么a+b与a-b的夹角的大小是?摇?郾

解析设a+b与a-b的夹角为θ，又|a|=|b|=1， cosθ=■=■=0， a+b与a-b的夹角为90°?郾

点评结论二是求解两向量夹角的基本方法?郾本题主要考查向量的夹角的运算，该解法没有去求a+b和a-b的坐标，而是整体考虑|a|=|b|=1，解法快捷明了?郾

例3 已知向量a=（1，n），b=（-1，n），若2a-b与b垂直，则|a|等于（）

A?郾 1?摇?摇 B?郾 ■?摇?摇 C?郾 2?摇?摇 D?郾 4

解析利用两向量垂直的等价条件列式求出n的值即可?郾（2a-b）b，（2a-b）・b=0，即（3，n）・（-1，n）=0，解得n2=3， |a|=■=2?郾故选C?郾

例4 已知向量a=（-1，2），b=（1，-1），且（a-2b）（λa+b），则实数λ为（）

A?郾 -■?摇?摇 B?郾 ■?摇 C?郾 ■?摇?摇 D?郾 -■

解析易知（a-2b）・（λa+b）=0，即（-3，4）・（-λ+1，2λ-1）=0，

-3（-λ+1）+4（2λ-1）=0，解得λ=■?郾故选B?郾

例5 若|a|=2，|b|=1，且（a-b）b，则a与b的夹角是（）

A?郾 ■?摇?摇 B?郾 ■?摇?摇 C?郾 ■?摇?摇 D?郾 ■

解析易知（a-b）・b=a・b-|b|2=a・b-1=0， a・b=1， cosθ=■=■，又θ∈［0，π］， θ=■?郾故选C?郾

点评两向量垂直的等价条件是两向量的数量积为0，这是向量的数量积概念的重要应用，是利用向量解决平面几何、解析几何等问题的重要工具?郾

例6 设向量a，b不共线，若ka+b与a-3b平行，则实数k的值为（）

A?郾 -■?摇?摇 B?郾 -3?摇?摇 C?郾 ■?摇?摇 D?郾不能确定

解析 a与b不共线，且ka+b=λ（a-3b）， k=λ，1=-3λ，消去λ，得k=-■?郾故选A?郾

例7 已知向量a=（8，■x），b=（x，1），其中x＞0?郾若（a-2b）∥（2a+b），则x的值为（）

A?郾 4?摇?摇 B?郾 8?摇?摇 C?郾 0?摇?摇 D?郾 2

解析易知a-2b=（8-2x，■x-2），2a+b=（16+x，x+1）?郾（a-2b）∥（2a+b），（8-2x）（x+1）=（■x-2）（16+x），又x＞0，解得x=4?郾故选A?郾

例8 设e1，e2是两个不共线的向量，如果■=2e1+ke2，■=3e1+e2，■=-e1+2e2，若A、B、D三点共线，求k的值?郾

解析易知■=■-■=4e1-e2?郾 A、B、D三点共线， ■∥■. 设■=λ■，则4e1-e2=λ（2e1+ke2），解得λ=2，k=-■?郾

点评将三点共线转化为向量共线，利用结论四建立向量之间的关系，根据平面向量基本定理中的唯一性，可建立方程组，使问题获解?郾

例9 设两个非零向量a与b不共线，若■=a+b，■=2a+8b，■=3（a-b），求证：A、B、D三点共线?郾

解析易知■=■+■=5（a+b）=5■， ■，■共线?郾又■与■有公共点B， A、B、D三点共线?郾

点评此题证明三点共线的方法是利用向量共线定理（即结论四），证明存在实数λ使得■=λ■，同时应注意强调有公共点，解题时应正确运用向量的加减法?郾

例10 已知a，b∈R，m＞0，n＞0，且m2n2＞a2m2+b2n2?郾令M=■，N=a+b，则M与N的大小关系是?摇?郾

解析依据题目结构特征，构造向量s=（■，■），t=（n，m）?郾

由|s・t|2≤|s|2|t|2，得（a+b）2=（■・n+■・m）2≤（■+■）（m2+n2）=■（m2+n2）＜■（m2+n2）=m2+n2. 故M＞N?郾

例11 求函数y=x-3+■的最大值?郾

解析原函数式可化为y=-3+■×3x+■?郾令f（x）=■×3x+■，又（3x）2+（■）2=10，可构造向量a=（■，1），b=（3x，■）. 由|a・b|≤|a||b|，得■×3x+■≤■・■，解得f（x）≤■. 故y≤■，当且仅当x=■时，y■=■?郾

点评向量是解决代数和三角问题的有力工具，根据题目结构特征，构造向量，运用相关结论，可以解决代数中比较大小、求参数的取值范围、证明不等式、求最值等问题?郾

例12 已知a、b为正实数，且a+b=1，求证：■+■≤2■?郾

解析设m=（1，1），n=（■，■），则m・n=■+■，|m|=■，|n|=■=2?郾

由m・n≤|m||n|，得■+■≤2■?郾

例13 已知a，b为正实数，求证：（■）■+（■）■≥■+■?郾

解析原不等式等价于■+■≥■+■?郾构造向量m=（■，■），n=（■，■）?郾

由|m・n|2≤|m|2|n|2，得（■+■）・（■+■）≥（■+■）2， ■+■≥■+■.

故原不等式成立?郾

点评以上两例通过构造向量，把不等式问题转化为向量问题，运用结论五，思路流畅，过程简捷，巧妙地解决了问题?郾

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