特征向量矩阵条件数对状态反馈控制的重要影响
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摘 要：为了进一步提高汽车控制系统的动态性能和鲁棒稳定性，从理论上分析并揭示了状态反馈控制征向量矩阵的条件数对线性连续定常系统的响应及反馈矩阵Frobenius范数的重要影响。进一步提出以减小特征向量矩阵的条件数为目的来设计状态反馈矩阵。仿真试验结果表明，在相同条件下，特征向量矩阵条件数较小的反馈系统，其暂态过程比较平稳，抗参数摄动的鲁棒性也比较强。这种思想可以应用于具有线性连续定常特性的汽车控制系统中。
关键词：汽车控制；特征向量；条件数；状态反馈控制；Frobenius范数
中图分类号：TP13文献标文献标识码：A文献标DOI：10.3969/j.issn.2095-1469.2013.06.03
状态反馈控制是汽车控制领域常用的控制方法，具有算法简单、控制效果良好等优点，因此得到了广泛的应用。文献[1]研究了汽车线控转向系统的车辆全状态反馈控制策略，以获得良好的操纵稳定性。文献[2]在汽车四轮转向系统中，基于二次型最优控制理论，设计了基于状态反馈和前轮前馈的控制策略，改善了系统的稳态和瞬态响应特性。文献[3]针对汽车主动悬架控制系统，将状态反馈控制与单神经元模型相结合，获得较为理想的控制效果。设计状态反馈控制常用的方法是将反馈系统的特征值配置到期望的特征值上。对于线性连续定常系统（A，B），设是含有A的所有特征值的约当型矩阵，V是对应的右特征向量矩阵。当系统矩阵A变化为时，有[4-5]
令的变化量，式（1）两边同取范数可得
。
定义是特征向量矩阵的条件数，则有
。
从式（3）可以看出，含有特征值的约当型矩阵的变化量与特征向量矩阵V的条件数k（V）有着密切的关系。
现有的用状态反馈控制配置特征值的文献很多[4-14]，但除了文献[4]、[7]和[8]以外，都没有提到特征向量的配置。其中文献[4]利用状态反馈控制征向量的配置存在自由度，以特征向量矩阵的条件数为适应度函数，采用粒子群算法进行优化，同时对粒子群算法进行改进，从而获得较小的特征向量矩阵的条件数。文献[7]提出了按照单秩和双秩的方法对特征向量进行配置。文献[8]提出将特征值和特征向量配置成解耦的方法。
本文将进一步从线性连续定常系统的响应和反馈控制矩阵Frobenius范数两方面入手，深入分析特征向量矩阵的条件数对状态反馈控制的重要影响。
1 预备知识
定义1[15]：在Cn×n上定义一个非负实值函数，对于任意的A、，，若满足下面4个性质
（1）正定性 ≥0，=0当且仅当A=0；
（2）正齐次性 ；
（3）三角不等式 ；
（4）相容性 。
则称实数为A的矩阵范数。
定义2[15]：对于任意向量以及任意方阵 ，取定的向量范数及方阵范数如果满足关系式
。
则称方阵范数与向量范数是相容的。
2 特征向量矩阵条件数对状态反馈控制的重 要影响
2.1 特征向量矩阵的条件数与零输入响应的关系
定理1[16]：在线性连续定常系统初始状态和特征值已经确定的情况下，系统特征向量矩阵的条件数决定系统变量零输入响应的上限。
证明：考虑线性连续定常系统状态变量的零输入响应的表达式
。
将带入式（4）得
。
式（5）两边取范数可得
。
由于V和为方阵，结合定义1，有
。
同时根据向量范数与方阵范数的相容性的定义2，总能找到相容的向量范数和方阵范数，使成立：
。
所以
由式（9）可知，在初始状态和特征值已经确定的情况下，系统的特征向量矩阵的条件数决定系统变量零输入响应的上限，证毕。
2.2 特征向量矩阵的条件数与状态反馈矩阵Frobenius范数的关系
定理2：在线性连续定常系统特征值已经确定的情况下，系统特征向量矩阵的条件数决定反馈矩阵Frobenius范数的上限。
证明：用状态反馈控制配置特征值和特征向量的问题可以表述为
。
式中，K为反馈控制矩阵。
对系统矩阵（A，B）进行Householder变换，可得到系统的能控海森堡型矩阵[5]：
。
式中，H为Householder变换矩阵；是上三角形或上梯形矩阵。将式（10）两边同时左乘 H可得
。
则根据式（11）和（12）整理可得
。
式（13）两边同取Frobenius范数，有
。
由此可见，在线性连续定常系统的特征值已经确定的情况下，反馈矩阵K的Frobenius范数的上限由特征向量矩阵的条件数决定，证毕。
2.3 两条定理的意义及说明
文献[5]指出，线性连续定常系统渐近稳定的充分必要条件是该系统对于任何初始状态x（0）的零输入响应eAtx（0）趋向于0。系统的零输入响应达到稳态值之前的暂态过程越平稳，系统的性能越好。所以结合定理1可知，特征向量矩阵条件数越小的系统，就越容易把系统的零输入响应控制在一个较小的范围内，其暂态过程必然就越平稳，系统的性能也就越好。
同时文献[5]指出，反馈矩阵K的Frobenius范数越小，系统的稳定性就越强，系统发生故障的可能性也就越小。所以结合定理2可知，特征向量矩阵条件数越小的系统，就越容易把反馈矩阵K的Frobenius范数控制在一个较小的范围内。
值得注意的是，根据上述两条定理，特征向量矩阵的条件数只规定了系统零输入响应和反馈矩阵范数的上限。因此即使特征向量矩阵的条件数比较大，仍可能存在较小的系统零输入响应和反馈矩阵的范数。但是这并不意味着上述两条定理及推论没有实际意义。因为如果能够获得条件数较小的特征向量矩阵，就能够很容易地把系统的零输入响应和反馈矩阵的范数控制在一个较小的范围内，从而降低控制的难度，获得较高的性能。同时目前没有任何算法可以保证在特征向量矩阵的条件数较大的情况下仍能获得较小的系统零输入响应和反馈矩阵的范数。
综上所述，基于定理1和定理2的结论，本文提出以减小特征向量矩阵的条件数为目的来设计状态反馈矩阵。同时文献[4]、[7]和[8]也给出了降低特征向量矩阵条件数切实可行的方法。
3 仿真实例及分析
3.1 仿真实例
本文给出一个示例性的仿真实例，该仿真实例的思想和算法可以推广到具有线性连续定常系统特性的汽车控制系统中，仅仅是数值和系统维数的差异。已知线性连续定常系统的状态空间描述为
。
式中，
，。
对于式（15）描述的系统，采用状态反馈控制将反馈系统的极点配置到的位置上。
3.2 基于粒子群的特征向量的配置
为了能够得到不同的特征向量配置结果进行对比分析，采用基于粒子群的算法[4，17]对特征向量进行配置。通过设置不同的迭代次数，就能得到条件数大小不同的特征向量矩阵，从而得到不同的状态反馈矩阵。文献[5]指出，对于下式
。
描述的特征值和特征向量的配置，可以表述为
，
或
。
式中，i是第i个特征值所对应的约当阵子块，
和是i在式（16）中对应
的V和部分。由于矩阵
行满秩。若设和分别为di的前ni×n行和后
ni×p行，则Vi和分别为基向量矩阵和的
线性组合，线性组合系数即为ni×p维列向量ci，则有
，。
将所有的线性组合系数组合成下式
。
并带入到式（18）中，则最终的特征向量矩阵V 和反馈增益矩阵K 为
。
。
粒子群特征向量配置算法步骤如下[4，17]。
步骤1：将特征向量矩阵的条件数作为适应度函数，确定基向量矩阵和。
步骤2：初始化粒子群，随机生成N个粒子，粒子的结构由式（19）所决定，每个粒子的维数为n×p维。选取粒子的位置和速度为[-1，1]上的随机数。考虑到自由度可以是实数范围内的任何值，所以不限制粒子的位置和速度。
步骤3：按照式（22）和式（23）对粒子的速度和位置进行更新，从而产生N个新粒子。
。
步骤4：确定粒子xi目前搜索到的最优解Pid和整个粒子群目前搜索到的最优解Pgd。若达到迭代次数则跳转到步骤4，否则按照步骤3继续更新。
步骤5：将最终的最优解Pgd对应的粒子位置cgd 带入式（18）～（21），计算特征向量矩阵V和反馈增益矩阵K。
通过设置不同的迭代次数，就能得到条件数大小不同的特征向量矩阵，从而得到不同的状态反馈矩阵。为了便于比较，本文给出3种不同的配置结果，每种结果都能将反馈系统的极点配置到期望的极点上，但各配置结果的特征向量矩阵和反馈控制矩阵是不同的，因此特征向量矩阵的条件数也不同。
从表1中可以看出，V1的条件数较小，因此可以将反馈矩阵的Frobenius范数控制在较小的范围内。而V2和V3的条件数较大，且目前没有算法可以保证能够获得较小的，所以从表1中可以看出，特征向量矩阵条件数大的，其反馈矩阵的Frobenius范数也比较大。
3.3 仿真及分析
3.3.1 零输入响应的仿真及分析
针对3种不同的特征向量矩阵，分别求取相应状态反馈控制中系统状态变量的零输入响应。假设状态变量的初始条件为
，仿真结果如图1～3所示。
从图中可以看出，由于V1的条件数较小，因此容易得到较为平稳的系统状态变量的零输入响应。而V2和V3的条件数较大，且不能保证获得平稳的零输入响应。如图2和图3所示，特征向量矩阵条件数越大的系统，其零输入响应的峰值越大，暂态过程越不平顺。
3.3.2 控制系统抗参数摄动的仿真及分析
以改变控制输入矩阵B的值作为控制系统参数摄动的一种方式，来观察3种系统的鲁棒稳定性。对于k1所对应的反馈系统，让矩阵B中的每个元素依次减少5%、10%和18%，即B变为0.95B、0.9B、和0.82B。图4～7是k1所对应的反馈控制系统状态变量的单位阶跃响应曲线。
从图4～7中可以看出，由于比较小，在控制输入矩阵B发生很大变化的情况下，仍能保证系统的稳定性。直到矩阵B的元素减少到82%时，系统状态变量的单位阶跃响应才发散。
再对k2和k3所对应的状态反馈控制系统进行类似的仿真，其状态变量的单位阶跃响应分别如图8、图9和图10、图11所示。
由于和相对于比较大，在控制
输入矩阵B发生变化的情况下，其稳定性不如k1所对应的系统。从图9和图11可以看出，当B仅变化8%和2%时，k2和 k2所对应的反馈系统就不稳定了。
综上所述，由于v1的条件数比较小，所以很容易将系统的零输入响应和状态反馈矩阵k1的Frobenius范数控制在较小的范围内，从而获得较好的性能和抗参数摄动的鲁棒稳定性。仿真试验进一步说明以减小特征向量矩阵的条件数为目的来设计状态反馈矩阵的思路是十分有效的。
4 结论
本文从理论上分析了状态反馈控制特征向量矩阵的条件数对状态反馈控制的重要影响。在目前没有任何算法可以确保在特征向量矩阵的条件数较大时仍能获得较小的系统零输入响应和反馈矩阵的范数的情况下，尽可能地减小特征向量矩阵条件数去设计状态反馈控制是十分必要并有积极意义的。同时本文设计状态反馈控制的思想可以推广到具有线性连续定常系统特性的汽车控制系统中，从而在一定程度上改善系统动态响应特性并提高系统的鲁棒稳定性。