解析几何有妙用最佳选址易确定

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在日常生活和生产技术中，我们常常会遇到一些最佳选址的问题.对于此类问题，同学们往往是望而生畏，不知从何入手.此时如果能够灵活运用解析几何知识，最佳选址还是容易确定的.下面举例分析，希望对同学们能够有所启迪.

1利用直线确定最佳选址

例1如图1所示，两个生物制药厂A、B座落于通江运河河岸的同侧，工厂A、B距离河岸分别为4km、2km，它们之间的距离为6km.现要在运河的工厂这侧选一点C，拟在该处建一个货物运输中转站，并建造直线输送带分别到两个工厂和河岸，使得直线输送带的总长最小，如图2建立直角坐标系.

（1）如果要求货物传输中转站C距离河岸为akm（a为一个给定的数，0≤a≤2），求C点设在何处时，直线输送带总长s最小，并给出s关于a的表达式.

（2）在0≤a≤2的范围内，a取何值时直线输送带总长最小，并求出这个最小值.

图1图2

解析（1）如图2所示，作直线l：y=a（0≤a≤2），作B点关于直线l的对称点B′，连AB′交直线l于D点，D点即为最佳选址点.

因为直线输送带总长s=a+AC+CB=a+AC+CB′≥AB′+a.

根据题意可知A（0，4）、B（42，2）、B′（42，2a2），则直线输送带总长最小为：

s=a+AB′=

a+（42-0）2+（2a-2-4）2=

a+4a2-24a+68.①

此时C点取在D点处，因直线AB′的方程为：

y-4=4-（2a-2）0-42x.②

直线l的方程为：y=a.③

联立②、③可求出D点坐标（22+223-a，a），故当C点坐标为（22+223-a，a）时，直线输送带总长最小为：

s=a+4a2-24a+68.

（2）当a是不定值时，由①两边平方，得

3a2+（2s24）a+68s2=0.④

因a是实数，所以方程④的判别式Δ=（2s24）24×3（68s2）≥0，即s26s15≥0，解之得：s≤3-26或s≥3+26.因s≥0，则s≤3-26

此时由④可得：a=24-2s2×3=9-263，又0

评注对于此类最佳选址问题，根据对称性原理容易确定：当两定点在某直线同侧时，可在直线上求一点，使其到两定点的距离之和最小；若两定点在某直线异侧时，可在直线上求一点，使其到两定点的距离之差最大.

例2一河流同侧有两个村庄A、B，两村庄计划在河上建一座水电站供两村使用.已知A、B两村到河边的垂直距离分别为300米和700米，且两村相距500米，问水电站P建在何处，送电到两村的电线用料最短？

图3

解析以河流所在直线为x轴，y轴通过点A，建立直角坐标系，则点A（0，300）、B（x，700）.设点B在y轴上的射影为H，则x=|BH|=AB2-AH2=5002-4002米=300米，故点B（300，700），如图3所示.显然P点落在A′B上时，|PA|+|PB|最小.

设点A关于x轴的对称点为A′（0，-300），则直线A′B的斜率为k=700+300300=103，直线A′B的方程为：y=103x-300.

令y=0，得x=90，得点P（90，0），故水电站建在河边P（90，0）处，如图3所示.

点评本题若求点P（x，0）到A、B的距离和|PA|+|PB|=x2+300+（x-300）2+7002的最小值，运算量将非常大，无疑也就增大了解题的难度.利用问题的已知条件，建立恰当的“直线模型”求解可以极大地简化解题过程.

2利用圆确定最佳选址

例3如图4所示，l1、l2是通过某城市开发区中心O的两条南北与东西走向的街道，连接M、N两地之间的铁路线是圆心在l2上的一段圆弧.若点M在点O正北方向，且|MO|=3km，点N到l1、l2的距离分别为4km、5km.

（1）建立适当坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；

（2）若该市的某中学准备在点O正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4km，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于26km，求该校址距点O的最近距离（校址可视为一个点）.

图4

解析（1）分别以l2、l1为x轴、y轴建立如图4所示的直角坐标系.根据题意可得：M（0，3）、N（4，5）.故kMN=5-34-0=12，MN的中点为（2，4），所以线段MN的垂直平分线方程为：y4=-2（x2）.令y=0，可得x=4.

故圆心A的坐标为（4，0），半径r=（4-0）2+（0-3）2=5.

所以A的方程为：（x4）2+y2=25，所以弧MN的方程为：（x4）2+y2=25（0≤x≤4，3≤y≤5）.

（2）设校址选在B（a，0）（a>4），则（x-a）2+y2≥26，对0≤x≤4恒成立，即（x-a）2+25-（x-4）2≥26恒成立，整理得（82a）x+a217≥0，对0≤x≤4恒成立.

令f（x）=（82a）x+a217，因为a>4，

所以82a

所以f（x）在[0，4]上为减函数，

所以要使上式恒成立，当且仅当a>4，

f（4）≥0，，即a>4，

（8-2a）×4+a2-17≥0，解之得：a≥5，即学校选址应在距O点最近5km的地方.

评注要想顺利求解本题，除了要能够正确地建立直角坐标系外，还应注意所求方程中的x、y有取值范围限制，否则就容易出错.

3利用抛物线确定最佳选址

例4某地政府为科技兴市，欲将如图5所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形的高科技工业园区.已知ABBC，OA∥BC，且AB=BC=2OA=4km，曲线段OC是以点O为顶点且开口向右的抛物线的一段，如果要使矩形的相邻两边分别落在AB、BC上，且一个顶点落在曲线段OC上，问应该如何规划才能使矩形工业园区的用地面积S最大？并求出最大的用地面积（精确到01km2）.

图5

解析以O为原点，OA所在直线为y轴建立如图5所示的直角坐标系，则C点坐标为（4，2）.依题意可设抛物线方程为y2=2px（p>0）.

因为C（4，2）在抛物线上，所以22=2p・4，解之得：p=12.

故曲线段OC的方程为：y2=x（0≤x≤4）.

设P（x，x）（0≤x≤4）是曲线段OC上的任一点，则在矩形PQBN中，|PQ|=2+x，|PN|=4x.

所以S=|PQ|・|PN|=（2+x）（4x）=-x32-2x+4x12+8.

所以S′=-32x12-2+2x-12.

令S′=0，可得3x12+4-4x-12=0，解之得：x=49.

当x∈（0，49）时，S′>0，故此时S是x的增函数；当x∈（49，4）时，S′

所以当x=49时，S取得最大值，此时|PQ|=2+x=83，|PN|=4x=329，S=83×329=25627≈95.

因为x=0时，S=8，所以Smax≈95km2.

故把工业园区规划成长为329km、宽为83km的矩形时，工业园区的面积最大，最大面积约为95km2.

评注本题通过求导求函数的最值，运用导数法求函数的最值以及运用导数的知识解决有关的实际问题，是近年来的命题趋势.

4利用椭圆确定最佳选址

例5如图6所示，A村在B地正北3km处，C村与B地相距4km，且在B地的正东方向，已知公路PQ上任一点到B、C的距离之和都为8km，现要在公路旁建造一个变电房M，分别向A村、C村送电，但C村有一村办工厂，用电须用专用线路，不得与民用混线用电，因此向C村要架两条线路分别给村民和工厂送电，要使得所用电线最短，变电房M应建在A村的什么方位？并求出M到A村的距离.

图6

解析因为|MB|+|MC|=8，|BC|=4

所以M在以B、C为焦点的椭圆上，建立如图6所示的直角坐标系，则A、B、C各点坐标为A（-2，3）、B（-2，0），C（2，0）.

所以M点的轨迹方程为x216+y212=1，e=ca=12，右准线l为x=a2c=8.

过M作MNl于N，则|MN|=2|MC|，根据题意求|MA|+2|MC|的最小值，即为求|MA|+|MN|的最小值.

所以M（23，3），N（8，3），|AM|=23+2，即变电房M应建在A村的正东方向且距A村2（3+1）km处.

评注本题考查了椭圆的第一定义和第二定义，将求|MA|+2|MC|的最小值转化为求|MA|+|MN|的最小值是求解本题的关键.

5利用双曲线确定最佳选址

例6如图7所示，一村民在P处有一堆肥料，现要将这堆肥料沿道路PA或PB运送到矩形田地ABCD中去.已知PA=100米，PB=150米，∠APB=60°，BC=60m.问能否在田地中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送肥较近，而另一侧的点则沿PB送肥较近？如果能，请说出这条界线是一条什么曲线，并求出方程.

图7

解析由条件ABCD中的点可分为三类：第一类沿PA送肥较近；第二类沿PB送肥较近；第三类沿PA和PB送肥一样近，即临界点，故临界线为第三类点的轨迹，即所求的曲线轨迹.

设M为界线上任一点，则|PA|+|MA|=|PB|+|MB|，即|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50.根据双曲线的定义可知，M点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的一支，以AB所在的直线为x轴，AB中垂线为y轴，建立直角坐标系.

在APB中，由余弦定理有：|AB|=2c=1002+1502-2×100×150cos60°=507，

所以c=257，a=25，所以b2=7×252-252=3750，故所求轨迹方程为x2625-y23750=1（25≤x≤35）.故可以在田地中确定一条界线，界线方程是双曲线x2625-y23750=1在矩形ABCD内的一段圆弧.

点评本题以实际问题为背景，考查双曲线的定义的应用，侧重考查同学们转化问题的数学思想，利用所学知识解决实际问题的能力.

图8

例7在某城市的局部地图中如图8所示，曲线MN为海岸线，直线l为一条南北方向的铁路线，O为城市中心，小岛A、B为海上的两个旅游景点.今测得城市中心O与铁路线相距15km，A在O的正东方向与O相距60km，B在O的北偏东60°方向与O相距603km，且海岸线MN上的任意点到A的距离都是到铁路线距离的两倍.

（1）写出海岸线MN所在的曲线方程；

（2）能否在海岸线MN上找一处Q建一座码头，使游客从Q出发游览A、B两个景点的往返路程S最小？若能找出，试求出往返路程的最小值.

解析（1）如图8所示，以O为坐标原点，以OA所在直线为x轴，建立直角坐标系，则A（60，0）、B（90，303），l的方程为x=15.

设曲线MN上的任意点P的坐标为（x，y），P到l的距离为d，依题意有|PA|=2d，

所以（x-60）2+y2=2（x-15），整理得：

3x2-y2=2700.

所以海岸线MN所在的曲线方程为x2900-y22700=1（x≥30，MN所在的曲线为双曲线的右支）.

（2）由（1）知，MN所在的双曲线实半轴a=30，半焦距c=60.设点C为双曲线的左焦点，连BC、QC，则C（-60，0），|QC|-|QA|=2a，|QA|=|QC|-2a，

所以S=|QA|+|QB|+|AB|=|QC|+|QB|+|AB|-2a≥|BC|+|AB|-2a.

因为|BC|+|AB|-2a为定值，且B、C在MN的异侧，BC与MN必有交点记为Q′，

所以能找出一处Q′，使往返的路程S最小.

又因为|BC|=（90+60）2+（303）2=

607，|AB|=（90-60）2+（303）2=60，

所以Smin=607+60-2×30=607（km）.

即能找到一处Q′，使游客从Q′出发游览A、B两个景点的往返路程S最小，最小值为607km.

点评本题以实际问题为背景，考查双曲线的两个定义，侧重考查大家转化问题的数学思想.建立坐标系是否适当是影响本题计算的关键，而利用|QC|-|QA|=2a来转化|QA|+|QB|+|AB|的计算是本题的难点，也是本题的核心.