图像的平移规律 在抛物线中的应用

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二次函数的平移题型主要有两种：一是已知抛物线的解析式和平移的单位与方向，求平移的后的解析式；二是已知抛物线与经过平移后得到的抛物线解析式，要求说明平移的单位和方向. 求解此类问题的关键是，能够分别从函数的解析式与平移的单位和方向入手，从中找到一般规律，即图像的平移实质上就是顶点的平移. 为了使同学们熟练掌握求解此类问题的能力，下面举例分析.

例1 把抛物线y = - 2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）

A. y =- 2（x+1）2 B.y=-2（x–1）2 C.y =-2x2 + 1 D.y =-2x2 –1

解析 将抛物线向上平移，说明抛物线沿y轴向上移动. 因此把抛物线y = - 2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是y = - 2x2 + 1. 应选C.

例2 已知抛物线y = x2 – 4x + 1，将该抛物线沿x轴方向向左平移4个单位长度，得到一新抛物线，求平移后的抛物线的解析式.

解析 要求将抛物线y = x2-4x + 1，将该抛物线沿x轴方向向左平移后的解析式，可先将y = x2– 4x + 1通过配方，使之变成顶点式，然后再由抛物线沿x轴方向向左平移的图像特征便可求得.

将y = x2 –4x + 1配方，得y =（x – 2）2 –3，向左平移4个单位长度，得y = （x + 2）2 -3. 故平移后所得的抛物线的解析式为：y = x2 + 4x + 1.

例3 将抛物线y =2x2 -4x + 5先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，求平移后所得抛物线的解析式.

解析 要求平移后的抛物线解析式，首先将y = 2x2 -4x + 5配方，确定其顶点坐标，然后根据平移的单位和方向求出平移后所得抛物线的顶点坐标，即可求得平移后的抛物线的解析式.

因为y = 2x2-4x + 5 = 2（x–1）2 + 3，其顶点坐标为（1， 3），所以平移后的抛物线的顶点坐标是（1 + 3， 3 – 2），即（4， 1），故此平移后的抛物线的解析式为y = 2（x-4）2 + 1，即y = 2x2-16x + 33.

从以上几例的求解过程可见，抛物线在坐标平面内实施平移变换时，其位置发生了改变，但其形状和开口方向不变，即a不变. 具体说来，就是抛物线的平移规律是通过其顶点式来判断，即抛物线y = a（x – h）2 + k，当h增大时，图像向右平移；当h减小时，图像向左平移；当k增大时，图像向上平移；当k减小时，图像向下平移. 反过来也成立.

练习

1. 二次函数y =x2+3X+的图像是由函数y =x2的图像先向____平移____个单位，再向____平移____个单位得到的.

2. 把二次函数y = 3x2的图像向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图像对应的二次函数解析式是（ ）

A. y = 3（x – 2）2 + 1

B. y = 3（x + 2）2 - 1

C. y = 3（x – 2）2 - 1

D. y = 3（x + 2）2 + 1

答案

1. 左，3，下，2；2.D

（作者单位：安徽省灵璧县黄湾中学）