如何分析涉及速度的动态问题
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【摘要】本文从动点、动线、动形三个方面，借助实例说明在分析涉及速度的动态问题时，“以静制动”是分析问题的总体思路；“用代数式表示运动路径长”是解决问题的关键；“演示中找到分水岭”是分类讨论的手段。
【关键词】以静制动 代数式 演示 分类讨论
动态问题，是以具体的几何图形为背景，通过点、线、形的运动（平移、翻折、旋转等），把图形之间的数量关系与位置关系，看作是在变化的、相互依存的状态之中，要求对运动变化过程中的数量关系与位置关系等进行探究。就运动对象而言，可以分为：动点、动线、动图三类。它能把几何、三角、函数、方程等知识集于一身，灵活性强、有区分度，受到了人们的高度关注，同时也得到了命题者的青睐。尤其是涉及运动速度的动态问题，不少学生认为：点、线、形在运动，不管怎样构图，在纸质的试卷上图形始终动不起来；变化着的图形怎样找变化的分析思路等。
一、动点问题
从运动的轨迹角度看，可以分为：点在直线（线段、射线）上运动，点在折线上运动，点在曲线上运动。从动点的数目方面看，可以分为：一个动点，两个动点……
解决这类问题的关键在于：用代数式表示运动路径的长度。从而达到“以静制动”的效果。
例：如图，在RtABC中，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连结PQ.点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）.当t为何值时，PQC与ABC相似？
分析：在PQC与ABC中，∠C是公共角，因此，它们相似的对应形式有：PQC∽ABC和QPC∽ABC两种。当PQC∽ABC 时，有： ；当QPC∽ABC 时，有： 。欲求出t值，必须先表示PC与QC的长，线段QC的长指的是点Q运动的路程，根据路程等于速度乘时间可知：QC=2t。同理可得：AP=t，则PC=6-t。若PQC∽ABC 时，有 ，即 ，解得： ；若QPC∽ABC 时，有 ，即 ，解得： 。当然，还得考虑求出的t值是否符合题意。
二、动线问题
这类试题常由直线平移，引起图形发生变化，通过建立方程、函数、不等式模型来解决问题。在解决这类问题时，应抓住平移直线与图形的交点，找出最容易用代数式表示的路径长，再逐一表示解决问题所需的其它线段（曲线）的长度。其实点动也可以带动线动，其分析方法、思路与动点问题的分析方法、思路基本一致。
例：如图，在RtABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，平行于BC的直线l，从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度平移，直线l交AC于P，交AB于D，联结PQ.直线l与点Q分别从点A、C同时出发，当其中一方到达端点时，另一方也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）.当t为何值时，PQC与APD面积相等。
分析：PQC的面积等于 ，APD面积等于 。要求出问题必先表示QC、PC、AP、PD，由动点问题可知：QC=2t，在其余三条线段中，AP最容易用代数式表示，线段AP长就是点A到直线l的距离，即直线l的平移距离t，则PC=6-t，由相似可得： ，从而建立方程 ，解得
三、动形问题
这类试题是由图形平移、旋转引起图形发生变化，通过建立方程、函数、不等式模型来解决问题。分析这类问题，首先通过演示，分清图形变化的所有情况，然后求出相邻情况的分界线时刻的时间值，再分情况逐一解决。
例：如图，D、A、B三点共线，AB=8，AD=3在直线AB的上方作RtABC，正方形ADEF，使∠B=90°，BC=6，正方形ADEF以每秒1个单位长度的速度由A向B匀速平移，点A运动到点B时停止，设正方形ADEF平移的时间为t秒（t>0），正方形ADEF与ABC重叠部分的面积为S. 求S与t的函数关系式；
分析：第一步，用草稿纸制作一个与正方形ADEF等大的一个正方形，将其从A出发，沿AB方向平移，不难发现重叠部分的形状不断变化：“三角形梯形五边形正方形”（注意正方形是否存在）。如图所示：
第二步，分别求出相邻情况的分界线时刻的时间值，①三角形与梯形的分界线，如图一所示，因为AD=3，所以t=3s；②梯形与五边形的分界线，如图二所示，由相似可知 ，正方形边长为3，得AA2=4，所以t=4s；③五边形与的分界线，如图三所示，由相似可知 ，正方形边长为3，得AD3=4，AA3=7则所以t=7s。
第三部，分情况讨论：①当0≤t
总之，在分析涉及速度的动态问题时，“以静制动”是分析问题的总体思路；“用代数式表示运动路径长”是解决问题的关键；“演示中找到分水岭”是分类讨论的手段。