发现 归纳 运用

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摘 要： 因式分解就整个数学而言，它是打开整个代数宝库的一把钥匙。教学之初应着重阐述两个方面：一是因式分解的概念，二是与整式乘法的相互关系。在学生掌握整式乘法的基础上来讨论因式分解概念，通过因式分解学习和训练为后面学习分式、解方程，以及代数式的恒等变形做铺垫。

关键词： 发现法 因式分解 数学教学 新知

因式分解知识有承上启下的作用。教学时要采用启发式、发现法等教学方法，培养学生分析问题、解决问题的能力。

第一环节：创设情境，引出新知

先出示几个整式乘法的练习，让学生做。教师巡视。

例如：（1）计算：①（a-2）（a+2a+4） ②（2x-y）（4x+2xy+y）

（2）上面的计算结果很简洁，你能发现一个新的公式吗？（请用含a、b的字母表示）

（3）下列各式能用你发现的公式计算的是（C）

A.（a-3）（a-3a+9）

B.（2m-n）（2m+2mn+n）

C.（4-x）（16+4x+x）

D.（m-n）（m+2mn+n）

（4）直接用公式写出计算结果：（3x-2y）（9x+6xy+4y）

学生完成后，教师引导：把上述等式逆过来看一看还成立。

安排以上练习，一是复习整式的乘法，激活学生原有整式乘法的认知结构，满足“温故而知新”的教学原理。二是为教学目标的完成做好铺垫。

第二环节：分析问题，探究新知

问题是数学的心脏，而一个好的问题的提出，将会使学生产生求知欲，引发教学高潮，是学生知识及能力获得发展的有效动力。

运用整式乘法公式计算：（1）1001×999+1 （2）20102-2011×2009

分析：（1）把所求式子中1001变形为（1000+1）和999变形为（1000-1），得到两数之和与两数之差的积满足平方差公式的特点，从而利用平方差公式计算即可求出值。

（2）把所求式子中的2001变形为（2000+1），2009变形为（2000-1），得到两数之和与两数之差的积满足平方差公式的特点，从而利用平方差公式计算即可求出值。

解：（1）1001×999+1=（1000+1）×（1000-1）+1=1000-1+1=1000000

（2）2010-2011×2009=2010-（2010+1）×（2010-1）=2010-（2010-1）=1

运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方。此题采用“拆数”的方法变形为满足平方差公式的结构，进而运用平方差公式达到简化计算的目的。

第三环节：师生互动，运用新知

为了让学生进一步理解因式分解是整式乘法的逆运算，培养学生逆向思维，我特设两道例题，这几个题目完全放手让学生自主解答，充分暴露学生的思维过程，使学生真正成为学习的主人。

例1.下列的变形中，正确的是（C）

A.x-（a+1）x+a=（x-1）（x-a）

B.m+56m+16=（2m+1）（3m+1）

C.y+（a+b）•y+ab=（y+a）

D.（x-3x）-2（x-3x）-8=（x-1）（x-2）（x+4）（x-1）（y+b）

例2.阅读解答题：有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答后面的问题。

若x=123456789×123456786，y=123456788×123456787，试比较x、y的大小。

解：设123456788=a，那么x=（a+1）（a-2）=a-a-2，y=a（a-1）=a-a

x-y=（a-a-2）-（a-a）=-2＜0，x＜y。

看完后，你学到了这种方法吗再亲自试一试吧，你准行。

问题：计算1.345×0.345×2.69-1.345-1.345×0.345

分析：本题中0.345和2.69都与1.345有关系，可设1.345=x，那么0.345=x-1，2.69=2x，然后进行计算。

解答：解：设1.345=x，原式=x（x-1）•2x-x-x（x-1）=（2x-2x）-x-x（x-2x+1）=2x-2x-x-x+2x-x=-1.345

本题考查了单项式乘多项式，完全平方公式，读懂题目信息，找出其运算方法是解题的关键。

通过例1，罗列一些似是而非、容易产生错误的对象让学生辨析，让学生进一步体会整式乘法与因式分解的互逆关系。促使他们认识概念的本质、确定概念的外延，从而形成良好的认知结构。通过例2，体会用分解因式解决相关复杂问题的解题技巧。

第四环节：强化训练，掌握新知

数学家华罗庚先生曾说：“学数学而不练，犹如入宝山而空返。”适当的巩固性、应用性练习是学习和掌握新知识所必不可少的。

例如：下列因式分解中，结果正确的是（ ）

A.x-4=（x+2）（x-2）

B.1-（x+2）=（x+1）（x+3）

C.2mn-8n=2n（m-4n）

D.x-x+14=x（1-x+14x）

分析：根据平方差公式，提公因式法分解因式，完全平方公式，对各选项分析判断后利用排除法求解。

解答：A.x-4=（x+2）（x-2），正确；

B.应为1-（x+2）=（-1-x）（x+3），故本选项错误；

C.应为2mn-8n=2n（m-4n）=2n（m+4n）（m-4n），故本选项错误；

D.应为x-x+14=（x-12），故本选项错误。故选A。

要注意在因式分解时要分解到无法继续分解为止，并且注意分解因式是整式的变形。

总之，因式分解与整式乘法关系是：一个多项式几个整式+积因式分解。因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式。两项一般考虑运用平方差公式；三项要考虑运用完全平方公式。要注意的是：因式分解是对多项式而言的一种变形；因式分解的结果仍是整式；因式分解的结果必是一个积；因式分解与整式乘法正好相反。通过归纳，让学生进一步理解因式分解是整式乘法的逆运算，培养学生逆向思维。

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