二元一次方程组的解法

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一、引言

本节是在二元一次方程组的基础上进一步探究其解法，让学生通过解二元一次方程组了解其关键在于消元，即将“二元”转化为“一元”，不论是通过等量代换的方法，消去一个未知数，从而求得原方程组的解；还是将两个方程相加消元，变成一元一次方程，从而求得原方程组的解，都是学生必须掌握的基本方法。二元一次方程组是方程组的基础，是学习一次函数的基础，也是中考和竞赛的常见题目。

二、二元一次方程组解法的教材分析

（一）本节的主要内容

本节采用了两种教学方式进行讲解。一是在于灵活运用代入法，并且在求出一个未知数的值后，应将它代入到哪一个方程求另一个未知数的值比较简便；二是在于灵活运用加减法的技巧，以便将方程变形为比较简单和计算比较简便。不论是哪种方法，学生们都要了解解二元一次方程组的关键在于消元，即将“二元”转化为“一元”，把“未知”转化为“已知”。

（二）本节的教学要求

使学生会分析二元一次方程组中的两个方程，分析同一个未知数系数的关联，从而决定用哪种方法比较简便，再进行解答。

（三）二元一次方程组的解法

它的解法有很多种，但是常见的只有两种，即代入法和加减法。它们虽是两种不同的方法，但其目的相同---“消元”，都是把“二元”转化为“一元”，进而求解方程组。不同点是消元的方法不同，或通过“代入”或通过“加减”。对于一个方程组用哪种消元方法解都是可以的，但应根据方程组的具体形式选择比较简便的方法，对应不同的题目在解题时可采用不同的消元方法。

（1）代入法

用这种方法求解关键是选择哪一个方程变形，消什么元。选取的方法是：①选择未知数的系数是1或-1的方程；②若未知数的系数不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程，将要消的元用含另一个未知数的代数式表示，再把它代入到没有变形的方程中去。

（2）加减法

用这种方法求解关键是相加减哪个元。选取的方法是：①某个未知数系数的绝对值相等时，可直接加减消元；②若同一个未知数的系数绝对值不等时，则应选一个或两个方程变形，使一个未知数的系数的绝对值相等，然后再直接用加减法求解，若方程组比较复杂，应先化简整理。

（四）本节应注意的问题

（1）“系数变形”时，应注意同一个方程的左、右两边每一项均应乘同一个适当的数，防止漏乘。

（2）“加减消元”时，由于是两个方程的左、右两边分别相加或相减，特别易出现漏项、变号（相减时）等错误。

（3）“回代求解”时，应代入系数相对较简单的一个方程。

（4）“加减消元”时，若同一个未知数系数的绝对值都不相等，则选取一组系数（选最小公倍数较小的一组系数），求出它们的最小公倍数（如果一个系数是另一个系数的整数倍，该系数即为最小公倍数），然后将原方程组变形，从而进行加减消元。

（5）对于比较复杂的二元一次方程组，应先化简（去分母、去括号、移项、合并同类项等），再进行消元。

（五）典型例题

例1.已知方程组 2x-y=7 ①和 x+by=a ③有相同的解，求a，b的值。

ax+y=b ② 3x+y=8 ④

[分析]由已知两个方程组有相同的解，可知方程2x-y=7和3x+y=8有相同的解，故将此两方程联立得二元一次方程组，其解又应满足由ax+y=b和x+by=a组成的方程组，进而求解。

解：依题意得 2x-y=7，解之，得 x=3，

3x+y=8， y=-1.

将它分别代入两个方程组的另两个方程，得到关天a、b的方程组 3a-b=1，

a+b=3.

解之，得 a=1，即为所求。

b=2

说明：此例须找每个方程组中都是已知数的方程组成新的方程组，得到的解，即是相同的解，再代入另一个方程一，从而求出参数的解。

例2. m取什么整数时，方程组 2x-my=6 ①的解是正整数？

x-3y=0 ②

[分析]将m看成已知数，求出含字母的x、y的值，再由解为正整数来决定m的取值。

解：由②得 x=3y

将它代入①中 2×3y-my=6

得 y=6/（6-m）.

x、y都是正整数

6-m的值为1、2、3、6；

即m的值为0、3、4、5.

说明：此例是把参数当作已知数求出方程的解，再依据已知条件求出参数的值。

三、结束语

二元一次方程组的解法是初中代数的重要内容，许多问题都可以通过消元来解决，因此我们须认认真真地学好这方面的知识。这一节题型很多，以上我只举了5例，只须记得解方程组的目的是消元，将思维拓展开来，从而面对各种题目时都能迎刃而解了。

本文只是提出了我个人的一些见解，如有不足，请批评指正。