高中数学二元函数最值问题求解方法浅析

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我们把形如z=f（x，y） 的函数称为二元函数。其最值问题是高中数学的一大难点，近年来高考试题中屡有考察。求解二元函数的最值，涉及到函数、不等式、线性规划、解析几何等诸多高中数学重点知识，更体现了函数思想、化归转化思想、数形结合思想和分类讨论思想等若干核心数学思想的应用。学好二元函数问题最值的求解，是函数部分的一大重点。

求解二元函数最值，核心思想是化二元为一元――将复杂问题化归为简单模型是数学解题的关键，也是本质。通过消元或换元，将一个二元问题简化为一元函数问题，依托于研究学生所熟识的一元函数达到求解二元函数最值的目的。下文所叙述的消元法和换元法都是这一思想的具体运用。

同时，求解二元函数最值问题时，联系题目中条件与最值问题所对应的几何意义――利用数形结合的思想，将二元函数问题化归为二维平面内的图形变换关系，通过观察图形的几何意义来解决问题，是此类问题其求解的又一法宝。

此外，结合已知条件，利用重要不等式来解决问题是我们可以借助的又一重要工具。均值不等式法就体现了这一思想。

下面通过几个具体的例子，着重通过一题多解的模式来分析二元最值求解的基本方法。

1. 配方法

利用多项式的配方法和实数的性质以及不等式的性质来分析新式子的结构， 进而研究确定二元函数的最大值或最小值， 这也是求极值的一种很简便的方法。

例1：求二元函数Z=x4+y4+2 x2y2-4x2-3y2+2y+15的最小值。

分析：原式配方得：Z=（x2+y2-2） 2+（y+1）2+10，当且仅当 x2+y2-2=0且y+1=0 ，即x= ±1，y=-1 时，Z的最小值是10

例2：已知X∈R ，y ∈R，求 u=x2+xy+y2-x-2y+5的最值。

分析：原式配方可得 u=（x+y-12）2+34（y-1）2+4，当且仅当 x+y-12=0及y-1=0时即x=0，y=1时取最小值4

2. 消元法

消元法是求解二元函数最值问题的最基本方法。同时，在求解此类问题时，设法消元也是核心的思路。而此类二元函数一般都有一个关于两个自变量之间的等量关系

例3、已知 x，y∈R+且 xy=2，求 y（x2+1）的最小值。

分析：已知条件给出了两变量的关系，故而可以用x表示y ，将二元问题划归为一元问题。

解：由xy=2 得 y2x，所以 Z= y（x2+1）= y2x（x2+1）=2x+2x，

又x ∈R+，所以2x +2x≥4 。当且仅当 x=1时取等号。（亦可利用“对勾”函数理解）

例4、从圆（x+1） 2+（y-2）2=2外一点P向圆引切线PM，M为切点， O为坐标原点，且有PM=PO，求 PM的最小值。

分析：设点P（a，b） 后，利用PM=PO找到 a，b的关系，求PM 的最小值问题转化为求PO 的最小值。

解：设点P的坐标为 （a，b） ，如图

由已知 PO′2- O′M2=PM 2=PO 2，得 2a-4b+3=0 ，所以b=2a+34 ， PM=PO=a2+b2=20a2+12a+916≥3510，

即PM 的最小值为3510 。

由以上两例可以看出，利用已知关系，将未知的二元问题化归为已知的一元模型――由未知到已知的转化模式是学习数学的一个重要思想。

3. 换元法

通常就是将两个变量看成一个整体，或者是应用三角代换的方法将其转化为一次函数，然后应用一次函数的最值求解方法求解。

例5、实数x，y满足x2-2xy+ y2-3x-3y+12=0，求u=xy的最小值。

分析：求u=xy的最值，从条件很容易把xy表示为x+y的关系，视x+y=t可转化为t的函数而求解。

解：由得条件 （x-y）2+12=3（x+y）≥12，可设t= x+y≥43（当且仅当x=y时取等号）又由条件可得 u=xy=14[（x+y）-3（x+y）+12]=14[t2-3t+12]=14[（t-3）2）2+454]≥12

从而可求得 umax=12

例6、若动点P（x，y） 在曲线 x24+y2b2=1（b>0）上变化，求 x2+2y的最大值。

解：因为 P（x，y） 在x24+y2b2=1（b>0）上，所以 x=2cosθy=bsinθ， 故而z=x2+2y=4 cos2θ+2bsinθ=-4（sinθ-b4）2+b24+4，

当0< b4

当 b4≥1，即b ≥4时， z=x2+2y≤-4（1-b4） 2+b24+4=2b。

换元法的本质仍是将二元变量问题划归为一元问题，从而使的问题的以简化。

4. 数形结合法

数形结合法是解决二元最值的一大类方法，其基本思想是将数的问题划归为形的特征，利用几何意义来解决问题，常见的模式有构造距离、斜率及线性规划的应用等。

对例4来说，得到a，b的关系2a-4b+3=0 后，将问题PO=a2+b2看作（a，b） 点到原点的距离，则PO的最小值为原点到直线2a-4b+3=0 的距离，根据点到直线的距离公式可得 d=3510。

例7：求函数f（x，θ）=xsinθx2+xcosθ+2的最值（2012年重庆理科数学二诊）

分析：首先令x≠0然后将函数的分子分母同时除以x 将函数转化为 f（x，θ）=sinθcosθ+x+1x，再令x+1x=-t∈（-∞，-2） Y（2，+∞）即有 f（x，θ）=sinθ-0cosθ-t将函数看成两点A（cosθ， sinθ）与B（ t，0）连线的斜率，再进行数型结合即可求出最为f（x，θ） max=77， f（x，θ） min-77

5. 均值不等式法

当问题所给条件是变量x与y的积或和时，若函数可看作这两个变量的和或积，当满足条件时，可利用均值不等式来求解。

例8、函数 y=loga（x+3）-1（a>0，a≠1）的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0 上，其中mn>0 ，求1m+ 2n的最小值。

解：因为函数y=loga（x+3）-1（a>0，a≠1）的图像恒过（-2，-1）点。

又 点A在直线mx+ny+1=0 上，所以有2m+n=1 ， 则z=1m+ 2n=（1m+ 2n）（2m+n）= nm+4mn+4，又 mn>0 ，故 nm>0， 4mn>0

从而nm+4mn ≥2nm4mn ，当且仅当 n=2m时去等号。即 1m+ 2n的最小值为4。

例9：已知a>b>0 ，求 a2+16（a-b）b的最小值。

分析：因为 a2=[（a-b）+b]2≥[（a-b）b]2=4（a-b）b当且仅当a-b=b 时等号成立，然后再将（a-b）b看成一个整体再次用均值不等式即能求出最小值16，当且仅当 a=22， b=2时取的最小值。

以上五种方法，是高中阶段求解二元函数最值的常用方法，在解决问题的过程中，充分体现了高中数学的基本思想与基本技能，是学生函数部分学习的重要内容。同时，在数列、圆锥曲线部分内容的求值等问题中也常常会涉及到，也体现了高中数学与高等数学的联系，更是新课程改革的一个方向。熟练掌握二元函数最值问题的求法，是对学生的必然要求。

参考文献

[1] 张宇. 求多元函数条件最值的常用技巧[J]. 中等数学，1999 （6）

[2] 林涛. 中学数学数形结合解题方法技巧[M]. 南宁： 广西民族出版社， 1992. 9

[3] 赵振威. 中学数学教材教法[M] . 上海： 华东师大出版社， 1997.

[4] 林国泰. 初等代数研究教程[M] . 广州： 暨南大学出版社， 2001.