对初中数学锐角三角函数教学的点滴思考

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笔者在随堂听课的过程中，不时观摩到教师讲授有关锐角三角函数的内容，由于初中阶段锐角三角函数的内容是高中阶段三角函数知识的基础，对于现阶段《数学课程标准》没有明确要求的内容，如正弦定理、利用正弦定理求三角形面积等。观摩中笔者发现执教教师对该部分内容要求不尽相同，部分教师在教学中对该内容有所涉及和要求，部分教师对此不作任何安排，学生只需了解锐角范围内正弦、余弦、正切函数的定义，熟悉特殊角（30°，45°，60°）的三角函数值以及会用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题即可，对锐角三角函数在教学中的挖掘和透析不足，这个现象引起笔者的思考。对现今的初中锐角三角函数教学中的知识点，哪些应进一步明晰？哪些可作拓展？拓展意义在哪里？在此和大家做个探讨，谈一点自己的反思和建议。

一、应明晰锐角范围内同角或等角的三角函数值相等的内涵和外延

明晰锐角范围内同角或等角的三角函数值相等对于学生理解和灵活运用三角函数解决问题显得尤为重要，但在笔者的观摩过程中，部分教师对此重视不够，在求解某个锐角的相应三角函数值时，往往将该锐角置于直角三角形，学生易形成惯性思维，当需要求三角函数值的锐角置于一般三角形内时，部分学生缺乏对锐角范围内同角或等角的三角函数值相等的理解。

例1　如图1所示，点E（0，4），O（0，0），C（6，0）在A上，BE是A上的一条弦，则tan∠OBE=_________。

上述例题选自笔者任教学校九年级的一次月考试题，所考查的知识点是同角或等角的对应的三角函数值相等，在考后试卷分析的过程中，笔者发现部分学生该题做错或者没做，在同这部分学生交流后，笔者获悉这部分学生中不少人实际上已联结EC（如图2所示），同时，由同弧所对的圆周角相等知，∠OBE=∠ECO，这离准确解决问题就“一步之遥”，但是EOC直角三角形，OBE不是直角三角形，这使得学生又陷入困惑。

事实上，学生无法顺利完成该问题的主要原因还是缺乏对同角或等角的三角函数值相等内涵的实质性理解。

关于锐角范围内同角或等角的三角函数值相等内涵的实质是来源于相似三角形的性质，即对任意两直角三角形和，若∠A=∠D（如图3所示），则由相似三角形性质可知：■=■，■=■，■=■。

■

这即是对于直角三角形中的某个锐角而言，只要其大小确定，则该锐角的邻边，对边和直角三角形的斜边得到的三个比：■，■，■，它们的比值是固定的，换言之，若∠α=∠β，则sinα=sinβ，cosα=cosβ，tanα=tanβ，更进一步，这实际上就建立了角的度数和某个数值间的对应关系，而这即是一种函数关系（锐角三角函数的内涵实质即来源于此），教学中明晰这一点，也就抓住了锐角范围内同角或等角的三角函数值相等的内涵实质。

二、初中阶段锐角三角函数的教学内容还应作适当的拓展

现阶段《数学课程标准》没有明确要求的内容，如正弦定理法求三角形面积等，听课中笔者发现教师对该部分内容要求不尽相同，部分教师在教学中对该内容有所涉及和要求，而部分教师对此不作任何安排，课后同教师的交流中，教师对此的看法不一，部分教师认为该内容初中阶段教材和习题中并未提及，不应增加学生的学习任务；部分教师认为应作适当的拓展，这是建立在学生已有知识储备和认知能力基础上的拓展，能丰富和完善学生的知识体系；同时，也为将来衔接高中阶段相关知识的学习打下基础。

那么现阶段是否应对锐角三角函数的教学作适当的拓展，怎样拓展，拓展的意义又在哪里？为了说明这一点，笔者曾设计如下一道问题，并请笔者所任教学校的九年级部分学生试做此题：

例2　由等腰三角形顶角角平分线的“三线合一”性质可知，该角平分线分底边所成的两线段之比等于两腰之比，那么，是否对一般三角形还有此性质？即如图4所示，若AD平分∠BAC，是否有■=■？

事实上，上题是三角形内角平分线性质问题。从学生试做的反馈情况看，该题完成效果并不理想，参与试做的同学中绝大部分能做出准确的判断，但在如何证明自己的判断上却不尽如人意，这其中顺利完成该问题的同学中，绝大部分根据角平分线的性质，通过添加辅助线（如图5所示），由角平分线的性质可得DE=DF，故■=■=■，■=■=■（这里h为ABC底边上BC的高），

因此有■=■，问题得以证明。

（作者单位：江苏省扬州中学教育集团树人中学）