英国中学数学教育
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2005年10月笔者参加了江苏省教育厅组织的为期一个月的数学教师赴英国培训项目。在英国曼彻斯特城的“苏曼”教师培训中心，聆听了英国文化部教育官员和中小学教师的专题讲座，并与英国同行进行了座谈和交流，同时参观访问了当地具有代表性的中小学。
一、英国中小学教育的总体印象
英国教师认为：数学的学习应当是以自然的方式进行，就如同学游泳一样，不下水练习，不呛水，就学不会游泳。英国教育非常注重培养学生的独立学习能力，启发学生主动学习，鼓励学生广泛阅读，深入研究，并就所学内容提出疑问，不断思考。
在课程设置方面，从初中起，学生就可以选择自己喜欢的专业，一般选三至五门学科，其中不包括英语。义务教育（5～16岁，其中5～11岁为小学，中学分两个阶段：11～16岁为中学第一阶段）后，学生参加GCSE（相当于我国初中毕业文凭）考试，进入第6学级（也称为第五学段，16～19岁为中学第二阶段，相当于我国高中时期）的学生分流，一部分人学习A-Level（高级水平）课程，准备升入大学；另一部分人学习GNVQ课程（国家通用职业资格教育），准备就业。学生从11岁开始学习系统的数学，包括应用数学和纯数学两大领域四大门类（机械学，纯数学，统计学，离散数学），学生在A-Level时自选四大类中的17本书学习，学生可以选3,6,9,12,15本学习，每本书单独考试，每3本组成一个成绩（一个证书），当然学生也可以选择有关未来大学科目的书目学习。
英国的普通高中称为“学院”（大学预科），在上课方式方面，学生实行“走班制”，即学生没有固定的教室，比如上数学课的教室就是数学教师的“家”，教师按照自己的喜好布置教室，坐等学生来上课。对学生进行分层次教学，相同学习水平的学生被安排在一起。在独立学习方面，英国的每个中学生都能开展课题研究，撰写小论文等。
1．注重区别化
区别化是英国数学教学的一个显著特点，在英国中小学数学课程大纲、教材和教学方法等方面有明显的反映：“水平考试”的区别化；第6学级数学课程的分流并实行必修加选修的结构，设计广泛的弹性课程；教材的多样性以及教学进度的灵活性等等。
英国的数学教育由“英才教育”转向“普及教育”，多级水平的课程和考试正适应了这一要求，这极大程度地照顾了大多数学生的发展。因此，不要奇怪试卷上可能写着适合15、16岁学生的字样。学生的智力水平、兴趣爱好和学习发展的速度各不相同，学生在明确自己与别人差距的同时，通过多级考试也能看到自己的进步。从一个较低的水平级上升到一个较高的水平级，会受到学校和教师的肯定和鼓励，这有利于树立学生的自信心，这种自信心又成为学生新的奋进的动力，这种动力和鼓励促进了学生学习进步的良性循环。
在教学内容安排上，实行区别化大纲，针对中学生的各种能力水平设计不同的数学课程；在教学目标上实现水平区别化，对于同一学段的学生所要达到的目标水平有很大的弹性；在数学活动的组织上，同一年龄段的学生，按其能力水平不同，创造条件使学生按各自的进度，安排学习活动。例如，笔者曾访问的一所中学，其九年级（相当于中国初二）学生的数学课被分成三个班进行，分别相当于水平9～8，7～6和5～4（注：英国国家课程义务教育分为四个主要学段：第一学科（5～7岁）水平1～3；第二学段（7～11岁）水平2～6；第三学段（11～14岁）水平3～8；第四学段（14～16岁）水平4～10。）。对于教学评价，一方面注重多方面的评价，不但要看考试的分数，而且注重教师在日常教学过程中对学生进行考查了解的情况；另一方面GCSE考试与阶段末的国家统一考试，也都提供了不同水平不同要求的试卷。
(1)可选择的学习任务是区别化教学的中心环节
区别化教学要求向学生提供适应差异的不同的教学内容和学习方式。每学年、每月、每周的学习计划由教师来制定，但具体的教学计划，强调师生的共同协商。尽管学生的学习内容不可能脱离教师的计划和安排，但他们对各种具体的学习活动有选择的自由。
在所参观的有些学校里，我们了解到所有的学生学习共同的教材，但按照不同的速度来学习。具体来说，根据学生的学习能力把学习内容处理成在广度和深度上有一定差别的几套学生活动，学生被分成学习同一学科、不同程度的教材的几个班，学生可以根据自己的学习情况从一个班转到另一个班，甚至向高一年级升级也不受时间的限制，给他们创造自由发展的条件。
(2)灵活的分组是实现课堂教学区别化的有效形式
分组教学是区别化教学的基本形式。在课堂中进行分组的标准是极其灵活的，学生的共同兴趣、同等能力、不同能力、学习方法及在课堂中的位置都可成为分组的依据。而按不同能力组合的小组，由于小组成员间可以互相帮助而减轻了教师的负担。英国课堂教学中集体讲授的时间较少，学生在进行自己的学习活动时，可互相询问、讨论。在课堂和讲座之余会经常安排一些小型的、非正式的小组指导，学生可以与教师自由交换意见和观点，这也是一个鼓励提出新观点、新方法的学习过程。分组是介于班级授课和个别教学间的一种形式，是体现教学区别化的有效形式。
2.注重应用
英国教育改革法认为：学校必须提供宽广而和谐的课程，一方面它应促进学生精神、道德文化、智力和身体的发展；另一方面应为学生准备好成年后生活工作的机会、责任感与经验。从英国中小学数学课程的目标与内容可以看出，他们首先考虑的是满足所有学生今后生活和工作的需要，并不惜打破传统的中学数学逻辑体系，不仅将运用和应用数学单独列为一项成绩目标，而且贯穿于整个数学课程，成为其他四项目标的灵魂与核心。
运用和应用数学首先体现在将纯粹数学、应用数学（包括力学、概率统计、数值方法等）结合成一门统一的数学学科，既体现出数学知识的内在联系，又体现出数学与其他学科的横向联系。应用数学的学习，可以使学生认识到数学在科学、建设、金融等领域的广泛应用，合情合理的有趣的数学问题的研究探讨有利于激发、保持学生学习的积极热情，加强对纯粹数学知识的认识和解决问题的技巧，抽象的数学因其广泛的来源背景和应用去处显得生动形象。其次体现在日常教学中十分注意解决实际问题，包括提出问题、设计任务、做出计划、收集信息、选用数学、运用策略、获得结论、检验和解释结果等等，而不是局限在书本上现成的“问题”。
我们听了第6学级的数学课，教师十分重视“问题解决”，特别是培养学生建立数学模型的能力，A水平的数学不仅专门开设了“问题解决”作为必修单元，而且由于微积分、概率统计、力学的引入拓宽了数学建模的范围。有“微积分入门”中优化问题（极大极小）的数学模型，“微积分方法”中列微分方程的数学模型，在“牛顿运动定律”单元的第一个课题也是“数学模型”，至于选修单元，更是显著地研究两大系列（力学、概率）中的大量数学模型。
教学评价也反映了加强应用的思想，GCSE考试不仅常规的笔试中有许多联系实际的试题，而且还专门有一项课题作业，占总成绩的20%，它是由实践性和开放性作业组成的，主要考查运用和应用数学的能力，包括口头交流、讨论数学思想、收集并处理数据等。例如交通路线的选择：要求选用一条从伦敦到伯明翰耗时最短的路线。问题采用表格的形式，列出几条铁路经过的城市名、千米数、火车时速，表格中已提供部分数据，还有的需要考生计算后填入。考生只有通过正确计算填好这些表格，才能选择出耗时最短的路线。再如土地和房屋面积的丈量问题，要求画出平面图，因为其中又有几个各种形状的小图，只有逐个正确计算出小图的面积，才能求出需要的面积。这种紧密联系现实的题目，不仅使考生做起来趣味盎然，有助于培养他们现实生活中的计算能力，还能培养学生商品经济的意识，再例如2003年的GCSE样卷，水平4有一份小型作业（“篮球”），其中有这样一题：“约当的靴”：约当是芝加哥公牛队的队员，他身高2.01米，体重88千克，题中给出一张图，画出他的一只靴底的实样和靴子的直观图（缩小的，标出其高为19cm）。(1)求靴底的近似面积。(2)设计一只盒子，可装这样的一双靴子。(3)画出所设计盒子的展开图，标上必要的尺寸。
3.注重过程
英国数学教学从教材到教学活动的组织上都突出学习过程，注重学生的数学活动，特别是探究活动。无论何种类型课，很少有教师讲学生听，多数是教师与学生一道参与一系列活动，如实验、游戏、讨论、让学生自己去发现规律，获取知识。他们对知识点，对各种数学结论包括公式、定理、法则等远远不及我们数学教学那么注重，不仅数量少而且对于记忆的要求也不高，一个明显的例子就是考试中许多基本公式，诸如三角形面积公式、一元二次方程求根公式等即使对于水平10也都附在试题前给出，他们更看重的是获得知识的过程，注重对知识的理解和应用，对一般规律的探究能力的培养和激发学生学习数学的兴趣。
在洛瑞托学院（高中），数学系主任托曼在给11年级讲微积分时，他举了一个买车的例子：不同的人对买车有不同的理解，不同的人所偏好的车的类别也不同，但他们肯定有一点相同：那就是花尽量少的钱，买尽可能好的车！现在市场上有三种车：A.8000英镑；B.9000英镑；C.14500英镑。约翰想买一辆汽车，他一共有9000英镑。他到底该买哪辆车呢？如果他能从银行贷款且他对C种车非常满意，他也有可能买。我们假设他不能贷款，并且我们知道他对A种车的满意度偏低，对B种车的满意度较高，对C种车的满意度最高，我们仍然无法确定他应该买哪种车。
学生们在积极地思考，他们试着从数学的角度给出购买决定的理由。托曼继续讲道：“我们假设约翰对各类汽车总体的满意度主要取决于汽车的速度(S)和耐用性(Y)，约翰对速度偏好，而他父亲更偏好耐用性，不同偏好可用不同的数学表达式表示出来……”他停顿一下说：“这就是在经济学中应用最为广泛的微积分学！”这样的引入由于与生活实际紧密相关、生动有趣，一下子就调动起学生学习微积分的兴趣。
然后，再提出问题：等，问学生能发现什么？有些学生发现了，举手，教师走近俯首听学生轻轻讲述他的发现，可以看出学生流露出成功的喜悦。值得注意的是：在这堂课上，教师并没有向全体学生说明问题的答案，更没有给出平方差公式，而是布置一个作业：请学生将自己的发现用代数句子写出来。教师认为这样做，学生自己发现结论，记得牢。
据2006年的英国《卫报》报道，英国教育大臣阿兰·约翰逊宣布了一项耗资400万英镑，让学生对数学感觉“酷”的计划。约翰逊大臣将投入200万英镑推广互动白板在教学中的应用，鲍兰德基金会已宣布为这个项目投入等额的经费，这项计划旨在让教师获得更多激发学生学习动力的新颖的教学方法。通过许多“案例研究”题目，使学生迷上数学。这些题目所涉及的事物要能调动学生的积极性，例如学生将思考，为了容纳参加2012年伦敦奥运会的所有运动员，需要在奥运村修建多少套公寓；要制作一套时装，一共需要多少原料等等。
我国正在推行新课程改革，尽管各国国情不同，但是我们面对同一个信息时代，面对同样的挑战，每个国家都希望在国际竞争中立于不败之地，而数学学习本身对人类普遍存在着智力价值、文化价值和应用价值，“大众化、生活化、活动化、个性化”正是各国数学课程改革的普遍取向。英国的数学教育是在总结反思60年代的“新数运动”，70年代的“回到基础运动”，在得与失的基础上，经过三年的调研论证，逐步形成确立的，并在80年代的“问题解决”，90年代的“大众数学”的浪潮中，经受了考验，当然英国数学教育特点的形成与完善离不开其文化背景、教育体制和考试制度。因此，在坚持我国数学教育优良传统的前提下，认真处理好继承、借鉴、发展、创新之间的关系，吸收国外先进的教育教学理念用于我国的新课程改革的实际是十分有必要的。