活用直线的斜率公式求函数最值

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【摘要】 笔者在本文中介绍了如何活用直线的斜率公式求函数最值的问题，具体地列举了一些典型例题，并详细分析了解题思路和解题方法。体现了数学的灵活性和技巧性。

【关键词】 数学 直线的斜率公式 函数最值

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1674-4772（2013）09-098-01

设A（x1，y1），B（x2，y2），（x1≠x2）则过A，B两点的直线斜率是k=■.这便是我们熟知的直线的斜率公式，它结构工整，形式对称，平凡而隽秀。巧妙运用直线的斜率公式，常能是一些问题获得简解。下面通过一些实例阐述它在一类分式型函数最值问题中的应用。供参考：

例1. 已知实数x，y满足：x2-4x+y=0 （x≥-1），求z=■的最大值和最小值。

【解析】本题中函数式z=■表示动点（x，y）和定点定点A（-2，1）连线斜率，而动点（x，y）在曲线x2-4x+y=0 （x≥-1）上。z=■可变形为y-1=z（x+2），不难看出它正是过点A（-2，1）的直线系方程；曲线x2-4x+y=0 （x≥-1）表示以点（2，4）为顶点，开口向下的抛物线上一部分。（如图）观察图像便可发现直线与抛物线相切时，斜率最大，直线过点B（-1，-5） 斜率最小。于是把y-1=z（x+2）代入x2-4x+y=0中消去y得：x2+（z-4）x+1+2z=0 由直线与抛物线相切的条件得zmax=8-2■，易知zmin= -6.

【评注】 一般地，形如：z=■（ac≠0）的函数最值问题可转化为动点（x，y）和定点连线斜率的■倍，利用直线与动点（x，y）的轨迹有公共点的条件并结合图形求解。

例2. 求f（x）=■函数的最值。

解析：函数f（x）可视为动点P（-2sin2x，-6cos2x+3cos4x）与定点A（-5，-2）连线的斜率。令u=-2sin2x；v=-6cos2x+3cos4x消去参数x得动点P的轨迹是抛物线u2 =■（v+3），u∈[-2，0]，v∈[-3，0]上的弧段，由图2知定点A（-5，-2）与动点P的连线斜率在端点处取的最值。

例3. 求函数y=■的最大值和最小值。

【解析】本题中函数式可变形为y=■可视为动点P（x，■）与定点A（-1，-3）连线的斜率，令u=x；v=■消去参数x得动点P（x，■）的轨迹是半圆（u-2）2+v2=1（v≥0）（如图）由过A（-1，-3）点的直线与半圆相切的条件可知： ymax=■；ymin= ■.

【评注】 一般地，形如：y=■的函数最值问题可转化为动点[f（x），g（x）]和定点（b，a）连线斜率，令u=f（x）；v=g（x），消去参数x得动点[f（x），g（x）]的轨迹方程，利用过定点（b，a）直线系与动点[f（x），g（x）]的轨迹有公共点的条件并结合图形求解。