斜拉索自振频率分析

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摘要：应用数理方程知识和有限元理论，分别求得斜拉索自振频率的解析解和数值解，并将两种方法得到的结果进行比对，证明了解析法和有限单元法的可靠性，为拉索的风雨激振和参数共振分析提供基础。

关键字：斜拉桥，拉索，自振频率

中图分类号： U448.27 文献标识码： A 文章编号：

1. 引言

随斜拉桥跨度的不断增大，斜拉索变得越来越长，因为索的大柔度、小质量和小阻尼等特点，极易在风雨、地震及交通等荷载激励下发生振动[1]。迄今，已有许多斜拉索风致振动的报导：日本1988 年一年内对日本的五座斜拉桥斜拉索振动[2]进行了观测和测量发现，最大振幅Brotoni桥达600毫米，Kofin桥达1000毫米，Meikeh桥达600毫米，Aratsu桥达300毫米，大约为直径的两倍。在国内，1992 年南浦大桥在一次风雨联合作用的情况下浦西岸尾部几根斜拉索发生了较大的振动；其尾索在风雨共振作用下最大振幅超过l米。2001年，南京长江二桥上斜拉索在风雨激振下发生大幅摆动，导致部分油阻尼器损坏[3-5]。

目前对斜拉索风致振动的研究主要集中在单索的风致振动，已经发现的斜拉索可能的振动类型主要包括以下五类：(1) 顺向风振动；(2) 风雨激振；(3) 横风向驰振；(4) 涡激共振；(5) 参数共振。

拉索的风雨激振和参数共振都是强非线性振动，能引起拉索的大幅振荡，对拉索具有相当大的破坏性。对拉索进行动力学分析时，分析其自振频率是非常必要的。

2. 拉索自振频率解析解

运用数理方程的知识，拉索的自振频率可由解析的方法计算得到，具体过程如下。

设有一根均匀、柔软而且有弹性的拉索，其长度为，建立如图1坐标系，设拉索被拉紧成直线状。它在平衡位置附近作垂直于方向的微小振动，并且在振动过程中拉索始终保持在同一平面。用拉索上任意一点，在任意时刻沿着垂直于方向的位移函数来描述拉索的微小横振动。

图1拉索示意图

在拉索上任取一小段弧长。由于拉索的振动是微小的，故可以认为拉索在振动过程中并未伸长，即的长度。由胡克定律知，拉索上各点处的张力的大小相同且不随时间变化，即是常数。又由于拉索是柔软的，因此拉索抵抗弯曲的能力非常小，可忽略不计，即认为拉索的抗弯刚度为零，故的方向总是沿着拉索的切线方向。

任取拉索上微小的一段弧长为隔离体，在时刻的受力情况如图2所示。

图2拉索隔离体受力分析

由受力分析知，作用在微段上的力有：点处的张力，它在轴的分力为；点处的张力，它在轴的分力为；设拉索的单位长度质量为。

根据达朗伯原理得

(1)

因为，故。又由于拉索做微小振动时，振幅很小，切线的倾角也很小，故就很小，以致

(2)

方程两边同除以得

(3)

当时取极限得，记，则可以简写成

(4)

线性方程中的变量可分离，而且振动是简谐振动，因此，方程式中的解可以写成

(5)

其中为圆频率，单位为；为振型函数。将方程（5）代入方程（4）解得，又由于两端为铰支座,其边界条件为,.于是解得，。要，则必有,即。

由此可得不考虑弯曲刚度时，拉索横向振动的固有频率

(6)

其中为拉索的轴向拉力,为拉索的长度,为拉索单位长度的质量,为第阶振型()。相应的振型为

(7)

而考虑弯曲刚度时，分析过程同上，拉索横向振动的固有频率为

(8)

式中为考虑了拉索弯曲刚度的修正系数,为拉索的弹性模量,为拉索的惯性矩。

拉索有限元建模

3.1. 拉索建模的方法

斜拉桥拉索有限元建模主要有三种方法：等效弹性模量法、多段直杆法和曲线索单元法。本文应用多段直杆法在ABAQUS中建立斜拉索有限元模型。

3.2. 单元的选择

ABAQUS中没有现成的索单元，根据拉索的受力特点，只能承受拉力，不能承受压力，且抗弯刚度可以忽略不计，选择二维两节点的Truss单元(T2D2)进行模拟。T2D2单元只有一个自由度，只能反映轴向力的变化，而初始应力使得杆单元中只有拉应力，且由于初始应力很大，在后续分析中，杆单元中不会出现压应力；Truss单元之间采用铰接，即没有抗弯刚度，以上与拉索的力学特点十分相似，故采用铰接T2D2单元模拟拉索，和实际情况比较接近。

3.3. 模型的建立

本文中采用个铰接的杆单元模拟拉索的行为。拉索两边的支承用铰支座模拟，与实际情况比较接近。具体模型如图3所示。

图3拉索模型示意图

算例分析

把本模型拉索的参数代入公式(8)，计算得拉索的第一阶至第十阶的自振频率，运用ABAQUS对模型进行分析计算，得到拉索第一至第十阶的自振频率的数值解，并对两组解进行分析比较，结果见表1。

频率计算结果比较表1

由以上分析可知，用108个相互铰接的杆单元对拉索进行模拟，精度满足要求。后文分析中均采用相互铰接的个杆单元模拟拉索，具体单元数目与单元大小根据拉索的几何尺寸而定。

结论

本文运用解析法和有限单元法两种方法进行分析计算，并且将结果进行了对比，两种方法得到的结果吻合较好，证明了解析法和有限单元法的可靠性，可以用这两种方法求解拉索的自振频率来研究拉索的风雨激振和参数共振问题。

参考文献

[1] 项海帆.现代桥梁抗风理论与实践. 北京：人民交通出版社，2005.

[2] 黄继民.南京长江二桥辅助索减振效果分析. 武汉：中国土木工程学会桥梁及结构工程学会第十四届年会论文集，1999.

[3] 余康烨.斜拉桥拉索振动及其抑振研究. 武汉：华中科技大学硕士学位论，2009.

[4] YHikami, N.Shiraish, Rain-wind induced vibration of cables in cable stayed brides, Journal of wind Engineering and Industrial Aerodynamics, 29 (1998) 409~418

[5] 黄本材，结构抗风分析原理及应用. 上海：同济大学出版社，2000，75~80

[6] 埃米尔.希缪，风对结构的作用——风工程导论。上海:同济人学出版社，1992

[7] 符旭晨，周岱等，斜拉索的风振与减振，振动与冲击，Vo1.23.No.3 29~32

[8] 陈明宪，斜拉桥建造技术，北京：人民交通出版社，2003

[9] 陈政清，桥梁风工程，北京：人民交通出版社．2005