图形巧变我妙解

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在初中几何的学习中，几何图形的变换是我们学习的难点也是亮点.往往在图形的巧妙变化中，在解决这些变化的思考过程和美妙体验中，蕴涵其中的数学技巧和方法才会逐步显现其真面目，同时数学经验才会得到升华，数学之美才会得以充分展现. 下面我们举例说明.

试题1 ？荩 已知AB=AC，点D是直线BC上一点（不与点B，C重合），DEAB，CHAB，DFAC，点E，F，H是垂足.

（1）如图1所示，当点D是BC中点时，你认为线段ED，DF，CH的数量关系是______________.

（2）如图2所示，当点D是BC上非中点的任意一点时，线段ED，DF，CH的数量关系是什么？说明你的理由.

（3）如图3所示，当点D是BC延长线上一点时，线段ED，DF，CH的数量关系是什么？说明你的理由.

技巧呈现 （1）观察可得ED=DF=CH. 可用三角形面积公式验证，即连结AD，则SABC=SABD=SACD . 代入三个三角形的底和高即可得到结论. 也可以用三角形全等和三角形中位线定理来证明.

（2）当点D是BC上非中点的任意一点时，（1）小题结论中的线段ED=DF明显已经不成立，但ED+DF的和似乎没变，可以猜测并论证ED+DF=CH. 仿照（1）小题的解法，连结AD，那么SABC=SABD+SACD .代入三个三角形的底和高，而三个三角形的底相等，即可得到结论.

（3）观察图3会发现ED，DF，CH的长短关系发生了变化，观察猜想可得数量关系ED-DF=CH. 延续（2）小题的解题思路，可以连结AD（如图5所示），那么SABC=SABD-SACD .代入三个三角形的底和高，而三个三角形的底相等，即可得到结论.

参考答案 （1）ED=DF=CH.

（2）如图4所示，连结AD，那么SABC=SABD+SACD . 因为DEAB，CHAB，DFAC，所以AB·CH=AB·DE+AC·DF. 因为AB=AC，所以AB·CH=AB·DE+AB·DF=AB（DE+DF）. 所以ED+DF=CH.

（3）如图5所示，连结AD，则SABC=SABD-SACD .

因为DEAB，CHAB，DFAC，所以AB·CH=AB·DE-AC·DF.

因为AB=AC，所以AB·CH=AB·DE-AB·DF=AB（DE-DF）. 所以ED-DF=CH.

画龙点睛 此题的图形变换“巧”，“巧”在点D在等腰三角形的底边运动时产生了不同的图形，产生了不同的三条高的数量关系，而我们的解法则“妙”，“妙”在三种变化得出的三条高的数量关系都可以用同一种方法解决，简捷清楚，同时，也学会了解决多“高”问题的常用数学方法：面积法.

试题2 ？荩 把一个正方形分割成全等的四部分，除了图6提供的三种方法，请在图7和图8中画出其他两种.

技巧呈现 观察图形，可以发现图6中的后两个图都是两条经过正方形中心的垂直直线分割出来的，那是不是还可以利用这两条直线，继续围绕正方形中心旋转得到新的答案呢？不难发现这两条垂足在正方形中心的垂直直线，旋转到任何一个角度，都会把正方形分割成全等的四部分，而且，两条线不一定都是直线，只要把任意一条过中心的曲线围绕正方形中心旋转90°，得到的曲线再围绕正方形中心旋转90°旋转三次，就会把正方形分割成全等的四部分.

参考答案 如图9、图10所示.

画龙点睛 ？摇题目“巧”在蕴涵的数学技巧和方法是我们平时没有深挖过的，我们的解答则“妙”在没有敷衍了事，而是找到了解决此类题目的根源：如果是围绕中心进行n°旋转，就可以与原图重合的正边形，只要任意曲线围绕正边形中心旋转-1次，每次旋转n°，都会把正边形分割成全等的部分.

试题3 ？荩 （1）如图11所示，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC，求∠AEB的大小.

（2）如图12所示，OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕着点O旋转（OAB和OCD不能重叠），求∠AEB的大小.

（3）如图13所示，（2）小题中的OAB固定不动，OCD变大，保持OCD的形状不变，将OCD绕着点O旋转（OAB和OCD不能重叠），求∠AEB的大小.

技巧呈现 （1）小题解答要容易一些，因为以点O为顶点的∠AOB=∠COB=∠COD=60°，

所以等腰三角形BOD和等腰三角形AOC的两底角都是（180°-120°）=30°.

∠AEB作为AED的外角，等于∠ADB+∠CAD=60°或因为∠AEB+∠EBO=∠AOB+∠EAO，所以∠AEB=∠AOB=60°.

（2）小题和（1）小题的条件相比，∠COB的度数发生了变化，但仍有等腰三角形BOD和等腰三角形AOC，而且这两个等腰三角形仍然全等，所以∠EBO=∠EAO.

又因为∠AEB+∠EBO=∠AOB+∠EAO，所以∠AEB=∠AOB=60°.

（3）小题和（2）小题的条件相比，BOD和AOC已经不再等腰，但这两个三角形仍然全等，所以仍然有∠EBO=∠EAO.

而∠AEB+∠EBO=∠AOB+∠EAO，所以∠AEB=∠AOB=60°.

参考答案 （1）∠AEB=60°.

（2）∠AEB=60°.

（3）因为在等边三角形OAB和等边三角形OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°，所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠ BOD=∠AOC.

所以BOD≌AOC.

所以∠EBO=∠EAO.

因为∠AEB+∠EBO=∠AOB+∠EAO，所以∠AEB=∠AOB=60°.

画龙点睛 对于本题，如果我们巧妙地抓住了此题图形变换中始终不变的全等三角形OAC和OBD，那么，图形怎么变化都在我们的掌握之中.