平面向量数量积的运算

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平面向量数量积是新课程中平面向量的重要内容，是高中数学三角函数、平面几何、解析几何等章节知识的交汇点，因此受到高考命题者的青睐.但这也成为众多学生眼里的知识难点，尤其在方法的选择上存在着很大的盲目性.下面就最近几年各地高考或模拟试卷上出现的题目做简要的归类，希望能给广大考生提供参考.

一、定义法

所谓定义法，顾名思义就是利用平面向量数量积的定义·=||·||·cosθ（其中与之间的夹角）直接进行运算.

例1：（2005湖南）已知直线ax+by+c=0与圆O：x+y=1相交于A、B两点，且|AB|=，则·？摇？摇？摇？摇.

解析：易知和的模即为圆的半径1，而根据直线与圆相交的性质，可以得到两向量之间的夹角为120°，因此·=1×1×cos120°=-.

例2：（2004浙江）已知平面上三点A、B、C满足||=3，||=4，||=5，则·+·+·的值等于？摇？摇？摇？摇.

解析：尽管该题目的解法较多，但是从定义入手还是比较直观明朗的：

·=||×||×cos（π-B）=-12cosB=-12×=0

·=||×||×cos（π-C）=-20cosC=-20×=-16

·=||×||×cos（π-A）=-15cosA=-15×=-9

最后，三者相加为-25.需要提醒学生的是本题中各个向量之间的夹角，一定要平移到“共起点”再运算.

小结：用定义来计算平面向量的数量积，思维较为单一，目标十分明确，该类题目的关键是要明确两个向量各自的模跟两者夹角的大小.但是，参照近几年全国各地的高考试题，很多考查数量积的题目，其涉及的模和夹角并不明朗.因此，处理平面向量数量积的另一个重要手段便呼之欲出.

二、分解转化法

所谓分解转化法，即在具体问题中，根据原有图形对所求问题中涉及的向量进行分解，化为用一组基底表示的向量处理.如果能合理地选择基底，该方法便能大大减少运算量，达到事半功倍之效果.

但是，笔者在日常的教学过程中发现很多学生对分解转化较为生疏，尤其在基底的选择上存在着很大的困惑.下面就近几年来各地模考卷及高考试题中出现的数量积问题作简要分析.

例3：在平行四边形ABCD中，已知AB=2，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点，则·=？摇？摇？摇 ？摇.

解析：本题中无论是还是的模都不清楚，两者的夹角也不明确，因此用定义法显然是不合适的.但是根据向量加法的定义，可以得到=+=+，=+，这样，所求数量积中涉及的两个向量都与已知条件中的AB和AD产生了联系，问题自然就能轻松解决：·=--·=1-2-×1×2×cos50°=-.

例4：如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在线段OA，OB上，且OC=BD.若OA=1，∠AOB=120°，则·的取值范围是？摇？摇 ？摇？摇.

解析：本题中已知的量是半径MO，因此尽可能把所求的和向靠拢.根据向量加法，易得到·=（+）（+）=+·+·+·，设OC=x，则OD=1-x，·=1+（1-x）cos120°+xcos120°+x（1-x）cos120°=x-x+，由x∈[0，1]得·的取值范围为[，].

例5：（2008年苏州市一模）已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，点A，B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点，点O到直线AB的距离为，

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知点E（3，0），设点P、Q是椭圆C上的两个动点，满足EPEQ，求·的取值范围.

解析：（1）略，椭圆方程为+=1.

（2）由于P，Q两点都是动点，很显然无法通过定义直接表示·.这时要抓住EPEQ这一核心条件，将向量转化成跟与有关的结果，即·=（+）=，从而将所求的量转化成两点之间的距离的运算.设P（x，y），则=（x-3）+y，由y=9-x得·=x-6x+18=（x-4）+6，由于-6≤x≤6，因此·的取值范围为[6，81].

例6：（2012年上海高考）在平行四边形ABCD中，∠A=，边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足=，则||·||的取值范围是？摇？摇 ？摇？摇.

解析：本题中与已知条件有关的向量是和，因此就找到了、的化简方向.记==λ（0≤λ≤1），则 =λ，=（1-λ）.结合向量的加法得到·=（+）（+）=（+λ）[+（1-λ）]=（1-λ）+λ+[1+λ（1-λ）]·.再由向量数量积的定义得到·=1，经整理，·=λ-2λ+5（0≤λ≤1），所以当λ分别等于0和1时，·取得最大值5和最小值2.

小结：该方法的实质就是化归思想的体现.根据上述几例不难发现，基底的选择往往与题目中的已知条件有着密切的联系.因此处理该类问题时，可以根据向量加法及数乘等知识，将所求数量积中的向量跟已知量（通常是某些图形的边长）联系起来，再通过一系列展开化简，问题便能迎刃而解.

三、解析法

解析法是基于向量的坐标表示、通过建立合适的直角坐标系来求数量积的方法.由于该方法不用太多转化，因此很多学生在解决平面向量数量积的时候比较倾向于这一方法.

例7：在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=1，点M、N分别是AB、BC的中点，点P是ABC（包括边界）内任一点，求·的范围.

解析：虽然易求得||=，但||、与的夹角不易求得，由于ABC是等腰直角三角形，故可建立平面直角坐标系，将点A，B，C，M，N用坐标表示即可.

具体如下：以C为坐标原点，CA所在的直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则C（0，0），A（1，0），B（0，1），M（，），N（0，）.

设P（x，y），则x≥0y≥0x+y≤1.

=（-1，），=（x-，y-），

·=-1×（x-）+×（y-）=-x+y+.

由线性规划的知识可得·的范围为[-，].

例8：（2012年江苏高考）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·的值是，则·的值是？摇？摇 ？摇？摇.

解析：本题中矩形背景为建立直角坐标系提供了便利条件，具体如下：分别以AB、AD在直线为x轴和y轴，则A（0，0），B（，0），C（，），D（0，2），E（，1）.设F（x，2），其中0≤x≤，则·=（，0）·（x，0）=x=，解得x=1，则·=（，1）·（1-，2）=（1-）+2=.

小结：坐标法体现了数与形的相互转化和密切结合的思想，在解决向量问题的时候有着广泛的应用，但此类方法也有一定的局限性，确切地说只适合于图形背景较容易建立直角坐标系（如直角三角形、等腰三角形、圆、扇形等）的题目.否则，不仅仅会带来计算上的麻烦，甚至可能会走进运算的死胡同.这一点应引起广大考生的重视.

当然，考生在利用上述方法解题时，应注意到各方法之间的联系互通，而不应将各个方法孤立起来.譬如例4，也可以通过建立直角坐标系后采用坐标法来解决，而2012年江苏高考题的第7题，同样也可以避免建系而改用定义结合三角函数的知识求解.因此，也只有学生认识到各个方法适用的题型，才能对该类问题了然于心，从而选择最合适的方法获解.