Hotelling模型再探讨
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[摘要] 本文修改 hotelling(1929)模型的基本假定，假定厂商边际生产成本为正,交通成本由消费者负担，厂商区位可以为内生变量，也可以为外生变量，在此假定前提下，分析厂商的最优的区位――价格策略，以探讨最大差异原则或者最小差异化原则何时成立，或者不成立。
[关键词] 最大差异化 最小差异化 区位内生 区位外生
一、绪论
Hotelling(1929年)最早使用线性区位模型研究了厂商间空间竞争的问题。假定厂商的边际生产成本为零，在利润最大化假设下，其结论为两厂商会同时在城市中点的位置进行选址，即最小差异化原则。D.Aspremont、Gabszewicz 与 Thisse(1979年)延续其构想，但对其假设加以修正，却得到截然不同的结果。在Bertrand竞争(价格竞争)下，两厂商聚集在中心点会使均衡价格为零，故两厂商必会在线形城市的两个不同端点选址，即最大差异化原则。此后，关于最大差异化原则和最小差异化原则何者成立或者不成立的问题引起了广泛的讨论。
在Hotelling(1929年)和D’Aspremont，Gabszewicz and Thisse(1979年)的模型内，有两个重要的假设值得讨论。第一，消费者所负担的单位交通成本相同。这一假设与实际的情形可能不符。比如排队购买，消费者宁愿多花时间购买某一产品而不购买对手的产品，这相当于提高了消费者的单位旅行成本。又比如，厂商的服务效率不同，也会影响消费者的单位交通成本。第二，厂商边际生产成本为零。这在现实生活中是比较少见的。因此，如果上述假设不成立，厂商的区位――价格策略发生何种变化，这是本文要探讨的第一个问题。
此外，研究厂商区位选择的文献，多假定厂商的区位内生变量，即通常假定厂商进行两个阶段的博弈,这又可以分为两种情况：两厂商同时选址，此后同时制定价格，即完全信息静态博弈；两厂商先后进入市场，后进入市场的厂商在观察到先进入市场的厂商选择后再进入市场，即完全信息动态博弈。而较少分析区位外生给定的情形，试想当市场上已有一家在位厂商，那么潜在进入厂商可能会直接把厂址选在在位厂商的附近，此时，后进入厂商的区位选择将是外生变量。
在把厂商的区位分为内生给定和外生给定的情况下，厂商的区位――价格策略也许会发生很大的变化。上述最大差异原则与最小差异原则会发生什么样的变化呢？或者说，最大差异化原则与最小差异化原则是否仍然成立呢？这是本文要探讨的又一问题。
本文将厂商的区位选择分为内生与外生两种情形，并假定厂商的产品定价为单一出厂定价（消费者负担交通成本，产品的实际价格为出厂价和交通成本两部分之和），沿用Hotelling模型考察厂商的区位――价格博弈，探讨最大差异化原则与最小差异化原则是否成立。
二、模型设定与求解
传统Hotelling模型关于厂商的边际成本为零的假设过于强烈，并且在现实生活中，消费者到两厂商的单位交通成本也不一定相等。本文放松上述假定，假设两厂商的边际生产成本不同且消费者到两厂商的单位交通成本也不相同，在此假设下，本文分析两厂商的价格及区位选择，探讨最大差异化原则与最小差异化原则是否成立。
本文分三种情形讨论厂商的价格和区位博弈:第一种情形，厂商同时行动，即完全信息静态博弈；第二种情形，厂商1先进入市场，厂商2观察到厂商1的行动之后再行动，且厂商1预计到厂商2将进入市场，即完全信息动态博弈；第三种情形，厂商1先进入市场，且厂商1未能预计到厂商2进入市场。
1.厂商1与厂商 2同时进入市场
模型假设：(1)产品市场为线性市场，市场长度为L，消费者均匀分布在区间[0,L];(2)市场存在两家厂商分别为厂商1与厂商 2;(3)两家厂商均采取单一出厂定价，厂商1与厂商2的定价分别为c1、c2;(4)厂商1、厂商2的边际生产成本分别为c1,c2，0
图1模型示意图
厂商1和厂商2分别在A、B两点设厂，其中A、B两点至两端点的距离分别为，代表厂商的腹地；x、y分别表示消费者到厂商A、B的距离。假定在A、B两点间的C处的消费者到两厂商处购买产品获得的效用无差异，即
将代入（1）中，解之得
则两厂商的利润函数可以表示如下
将(2)分别带入(3)、(4)并对p1、p2求导得到利润最大化的一阶条件
解上述(5)式，得到
将(6)式代入得到(3)、(4)中，可得到厂商1、2的利润最大化的一阶条件分别为
两厂商利润函数的二阶条件为
由二阶条件大于零可知，厂商利润最大化的解是角点解(即端点解)。在角点解的情况下，有四种情形： 。
假定,则厂商1、厂商2的支付(pay-off)矩阵为(见表1)：
表1 厂商同时进入市场时的支付矩阵
可见，在上述情况下，厂商1、厂商2不存在纯策略纳什均衡。可见，无论最大差异化还是最小差异化原则均不成立。
如果两个厂商的边际成本或消费者的成本不同，可能情形会发生一定的变化，但此种情形较为复杂，本文不进行讨论。
2.厂商1先行动，厂商2观察到厂商1的选择后行动
在此情况下，先求厂商2的利润最大化的一阶条件，然后将其作为厂商2的反应函数带入到厂商1的利润函数中，求出厂商1 的最优策略，然后求解厂商2的最优策略。
和厂商同时行动的情形相同，假定厂商1、厂商2的分别选在A、B两处，位于C处的消费者，从两家厂商购买产品的效用无差异，即满足
将(2)式代入到厂商2的利润函数中去，得到
进而得到厂商2利润最大化的一阶条件为
将(9)式代入到厂商1的利润函数可得，
其利润最大化的一阶条件为，从而得到
将(10)式代入(9)式，可以得到
将(10)、(11)式代入厂商的利润函数，可得
厂商1、2的最优区位选择由下式决定
由于，厂商的利润最大化的位置应当是角点解，则厂商1的位置应在a=0，或者a=L处，同理，厂商2的利润最大化的解也应当是角点解，即b=0，或者b=L处。因此，厂商1、厂商2有四种可能的组合:（1）a=0，b=0;(2)a=0,b=L;（3）a=L，b=0；（4）a=L，b=L。
当d1=d2，c1=c2，厂商1、2的支付矩阵变为(见表2)：
表2 厂商先后进入市场，且存在互动时的支付矩阵
可见，上述博弈不存在纯策略纳什均衡。即最大差异化原则和最小差异化原则均不成立。如果两个厂商的边际成本或消费者的成本不同，可能情形会发生一定的变化，但此种情形较为复杂，本文不进行讨论。
3.厂商1先进入市场，且厂商1未能预计到厂商2进入市场
在厂商1先进入市场，且厂商1未能料到厂商2进入市场时，通常而言，厂商1为获得利润最大化，应当将厂址选在市场的中间处。这种情况下，两厂商的选址可以图示如下(见图2)：
图2 厂商1先进入市场，且未能预计厂商2进入市场
那么厂商2怎么选择呢？根据对称性，我们只讨论厂商2位于[0，1/2L]处的情况。
(1)厂商2选择在端点处设厂。
(2)厂商2选择在线段的中间处设厂。
(3)厂商2选择在（0，1/2L）处设厂。
假定两家厂商的生产成本相等，消费者的交通成本也相同。如果厂商2选择在0处设厂，则厂商2的腹地过小，它的市场份额为[0，1/4L]，即厂商的市场份额占整个市场的1/4，是厂商1的1/3。同理，厂商2如果选择在[0，1/2L]处的任一点，那么其市场分额总是小于厂商1的市场份额。利润也将小于整个市场的一半。只有厂商2同样选择在线上中间处即1/2L处设厂，其市场份额和利润才会和厂商1相等。因此，有理由相信厂商2也将在市场的中间处设厂。此时，我们得到产品最小差异化原则。
如果厂商2的生产成本小于厂商1，或者厂商2的交通成本较小，则两厂商在中间处设厂，必然导致价格竞争增加，使得厂商1退出市场，厂商2独占整个市场。
如果厂商2没有成本优势(或者生产成本大于厂商1，或者交通成本大于厂商1，或者两者兼而有之),那么厂商2还会进入市场吗？此时，厂商2仍有可能进入市场。其选址位置在[0,1/4L)处，具置，应视两厂商的成本差异大小而定。厂商2的成本劣势越大，则厂商2的选址越是靠近0处。此时，既不是最大差异化，也不是最小差异化。
三、结论
在单一出厂定价制度下，如果交通成本是一次的，通过上述分析，可以得出如下结论：
1.无论两家厂商同时进入市场，还是厂商1先进入市场，且厂商1能够预计厂商2将进入市场，只要两厂商的生成成本相同，消费者负担的交通成本相同，那么在这两种情形下，都不存在纯策略纳什均衡。即在内生区位选择下，最大差异化和最小差异化原则均不成立。这一结果，与Economides(1986年)的结论相同。
2.如果厂商1先进入市场，厂商2后进入市场，且厂商1未预计到厂商2进入市场（外生区位），当厂商的边际成本、消费者的交通成本均相等时，则两家厂商均会聚集在市场的中间处，此时，符合最小差异化原则。如果厂商2具有成本优势，则厂商1退出市场，厂商2将独占整个市场。如果厂商2存在成本劣势，则厂商2会将厂址选在[0，1/4L]处或者[3/4L,L]处的某一点。此时，既不是最大差异化，也不是最小差异原则。
本文考察了单一出厂定价制度下厂商的策略竞争选择，得到的结论有点出乎意料，这也许与我们假定交通运输成本为一次性的有关。最小差异化原则在很少的情形下才存在，而且本文未发现最大化差异成立的情形。
本文的上述结论建立在厂商的生产成本相等和消费者交通成本相等的基础上，如果两种成本不同，可能会得出不同于本文的结论。除此之外，现实中还存在单一送货定价制度（即对任何位置的消费者均收取统一价格）的情形，如快餐业等服务行业的送货上门的情形。此时，厂商的策略选择也许有所不同。
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