“合情推理”教学回眸

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初中课程改革已有十年，“合情推理”进入教学目标是一个新内容，受传统教学的影响，很多教师对此都没有给予足够的重视。笔者在这课程改革十年中，对此进行了一些探索，现将自己的一些做法和认识写出来，供同行们探讨。

一、合情推理让学生更加喜欢数学

2010年9月，新的一届初中学生入学了。为了让这些孩子们喜欢我，喜欢我所教的数学，我以自己的年龄为结果，进行了一堂“合情推理”课的教学。

上课情况是这样的：我走进教室，师生互相问好后。我提问学生：“有认识我的吗？”一个学生说：“我认识你，小学考试时你监考我们班，但我不知道你叫什么名字。”我说：“你们不知道我叫什么名字，但有些同学的家长知道我叫什么名字。”于是我在黑板上写下自己的名字。我停了一下，说：“同学们认真看一看，想一想，推测一下我有多少岁？”这一下，学生们可高兴了。有说二十多的，有说三十的，有说四十多的。我让同学们注意，我提出的是“推测”，不是“猜测”。我进一步说明，“推测”是让你把看到的、听到的、想到的作为依据进行推理，得出结论。

学生安静了，开始思考。一会儿，一个学生举手回答：“杨老师，我看你的衣服的样式和颜色，既不是年轻人的，也不是老年人的，你应该只有四十岁左右。”我说：“你的方法不错，这就是推测。”接着，就有很多同学根据皮肤的皱纹推测，有根据说话的声音推测，也有根据秃顶推测的。还有一个同学说：“你刚才说有些同学的家长知道你叫什么名字，我想可能我们有些同学的家长是你以前的学生。我们的家长现在一般情况有三十六七岁，你教他们时，你也应该有三十岁左右，你比我们的家长大约大十二三岁，因此你现在应该有四十八九岁。”最后，我说：“你这种思考分析很不错，数学的学习，就是要这样的分析。”然后我又给同学们提供一条信息：“我现在教书有三十年了。”于是，学生们分析：老师小学七岁开始读书，小学六年，初中三年，高中三年，大学四年，今年老师五十三。最后，我告诉同学们：“尽管同学们的具体分析有出入，但方法是对的。老师今年确实已经五十三岁了。”

课后学生在一篇题为《记第一节数学课》的文章中，都提到了学习数学就是要学会“推测”，都被这一堂课的趣味性所吸引。同学们都喜欢上我这个身材不好，又秃顶的老头教师，都表示更喜数学了。

二、准确理解《课程标准》对合情推理的要求

在初中数学《课程标准》中明确提出：“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。”这是在教学要求中首次提出合情推理概念，并要求作为学生的一种能力进行培养。而对演绎推理，则仅提出是初步的演绎推理，这一点是新旧教学要求的一个很大的不同点。

初中数学《课程标准》中“空间与图形”第三学段的内容是这样安排的：一是图形的认识，二是图形与变换，三是图形与坐标，四是图形与证明。

《课程标准》中第三学段教学建议中关于“证明”的阐述：“证明”的教学所关注的是，对证明必要性的理解，对证明基本方法和证明过程的体验，而不是追求所证命题的数量、证明的技巧。在证明的教学中，首先，应通过生活、代数和几何中的具体例子使学生认识到，有些命题可以通过观察和实验得到并获得大家的认可，但也有些命题仅仅通过观察和实验是不够的，从而使学生体会证明的必要性。其次，应该使学生理解证明的基本要求，有条理地阐述自己的想法，知道推理必须有依据，证明过程的表述必须条理清楚。

由此可见在七年级、八年级的空间与图形的教学中主要是发展合情推理能力，逐步引入演绎推理，完成好从实验几何到论证几何的过渡。到九年级，学生随着年龄的增加和合情推理能力的提高，对学生进行“证明”的相关教学就会水到渠成。

三、合情推理与演绎推理各有千秋

合情推理顾名思义，是一种合乎情理的推理，是有别于演绎推理的一种非严密性推理。它的主要形式有归纳推理和类比推理，它是建立在认真观察分析的基础上的一种猜想。演绎推理是一种必然性推理，它的结论绝对可靠，合情推理则往往是从经验事实中找出普通特征，或从类比中启发出新的认识。

合情推理在生活中的使用极多。医生诊断疾病,法官审判案件,军事家指挥战争,人际交往等都应用合情推理。商业活动中的市场调查，将调查的数据进行归纳、类比，得出有一定规律的市场结论，这也是在使用合情推理。

不管哪一个领域，只要有创新就有合情推理，合情推理是创新思维的一个有机组成部分。可以说没有合情推理就不可能有创新。美国著名数学家G・波利亚提出：我们不但要学习论证推理，也要学习合情推理，以丰富人们的科学思想，提高辩证思维能力，体会数学中的真正奥妙。

四、合情推理在教学中应注意的问题

合情推理必须建立在一定数量上的观察与分析上，没有一定数量的材料要归纳或类比出正确结论是不可能的，因此教师在对学生进行合情推理能力的培养时，要给学生足够的材料和时间。

如在一列数3，5，7，11，，27，43的空白处填上适当的数。学生如果只观察到前面四个数，就去填数，必然是错误的，因为这样的规律不能让后两个数成立。只有当得到的规律能使七个数都满足才能是正确答案。

再如，我们在进行“有理数的加法交换律和结合律”的教学中，教材中一般都是用一组有理数去验证。虽然，教材中让学生再用一些数试试，但很多教师都没有让学生去试，其理由是太浪费时间了。为解决这一问题，我在教学中将教材改为“让每一组同学用不同的数去验证”。这样，让学生们，经历这么多有理数验证都是正确的，从而进行合情推理：有理数也有加法交换律和结合律。

为了不让学生认为“小学学习的所有结论都能推广到初中”，需要让学生去验证：在有理数中，两个数的和是否一定大于任一加数。

在数学上，对于合情推理得到的结论是不完美的，还必须用演绎推理去证明。对一时不能进行证明的，也要给学生讲明，由于学生现有知识水平和理解水平，暂不对此进行证明。但要说明数学家已对此进行过证明，所以同学们现在可以使用。

在几何教学中，教师在对学生进行合情推理能力培养时，对图形的观察与实验都必须在对一定量的图形的观察与实验后才能提出发现。

我们在小学进行“三角形内角和定理”的学习，就必须多给几个三角形，让学生去量它们每个角的度数，并让学生去归纳发现。细致的学生，会发现三内角和不一定刚好180度。有可能多一点，也有可能少一点。教师不能武断说学生错了，应该让学生再去测量更多一些的三角形，看它们的和是否总在180度左右。最后要向学生说明，就是我们正确测量了一百个三角形，都有此性质，也只能猜想，所有的三角形都有此性质，它的正确性需要证明。这一性质，我们在初中学习三角形时就能进行证明，我们现在可以放心地用。

在对学生进行合情推理能力培养时，一定要选一些不正确的结论，让学生感受合情推理的不完美，必须学习演绎推理。

费马猜想――法国数学家费马观察到：2 +1=5，2 +1=17，2 +1=257，2 +1= 65537。5,17,257,65537这些数都是质数，于是他用归纳推理提出猜想：任何形如2 +1 （n∈N*）的数都是质数。半个世纪之后，欧拉发现，第5个费马数F5=2 +1=4269467297=641×6700417，它不是质数，从而了费马的猜想。

再如31，331，3331，33331，333331,

3333331，以及33333331都是质数，但下一个333333331=17×19607843却不是质数，而是一个合数。

总之，在推理的教学中，要注意循序渐进，完成好从实验到论证的过渡。注意合情推理方式的运用，引导学生由通过观察、实验、猜想得出结论，逐渐过渡到严格的证明。

（作者单位 四川省乐山市佑君初级中学）

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