反证法在数学解题中的应用

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇反证法在数学解题中的应用范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

摘 要：反证法不仅是一种证明题行之有效的方法，而且对培养读者从单一的正向思维定势中解脱出来，让读者从多角度、多方面去分析问题和处理问题，因此研究反证法是非常有必要的。本文系统的介绍了反证法的定义、解题步骤、运用反证法时的矛盾类型、以及应用反证法证题中应该注意的问题。

关键词：反证法；数学；应用

中图分类号：G630 文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2013）-10-0310-02

法国数学家达玛说：“反证法在于表明：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾。”这是对反证法精辟的概括。在数学教学中，作为一名教师不仅要重视知识的传授，更应该重视对学生进行智力开发和能力培养。反证法是突破思维定势，从相反的方向研究事物的运动，无疑是一种开拓思路的方法，可以增强学生的学习兴趣和思维转换能力，对提高学生的分析问题和解决问题的能力将大有益处。

一、反证法的概念

反证法就是从否定命题的结论出发，经过推理，得出和已知条件或和其他命题相矛盾的结论，或在推理过程中得出自相矛盾的结论，从而达到命题结论正确的数学方法.欲证命题“A是B”，从反面推导“A不是B”不能成立，从而证明“A是B”。它从否定结论出发，经过正确，严格的推理，得到与已知（假设）或已成立的数学命题相矛盾的结果，查处产生矛盾的原因，不是由于推理的错误，而是开始时否定结论所致，因而原命题的结论是正确的。以上内容可以简单概括为：反设、归谬、结论三个步骤。

二、反证法证题的步骤

用反证法证题一般分为三个步骤：

1.反设 假设所要证明的结论不成立，而设结论的反面成立；

2.归谬 由“反设”出发，根据已知公理，定义，定理等进行层层严密正确的推理；

3.结论 在推理过程中出现矛盾，说明反设不成立，从而肯定原结论成立。

下面举几个例子来说明数学中是如何应用反证法的。

例1 证明：在ABC中，若sinA

证明 假设∠A不是锐角，则∠A必是直角或者钝角。

I.如果∠A是直角，则sinA=1

II.如果∠A是钝角，令∠A=180°-？琢（？琢为锐角）.则sinA=sin（180°-？琢）=sin？琢

由于∠B是锐角，所以a

综上所述，由I，II可知，∠A必为锐角。

三、反证法中常见的矛盾形式

1.与题设矛盾

例2 若0°

证明 设sinx=cosx，则sin2x=cos2x？圯1-cos2x=cos2x=■.

所以 即x=45，这与0°

从而sinx≠cosx.

2.假设矛盾

例3 已知？琢，？茁为锐角，sin（？琢+？茁）=2sin？琢，，求证？琢

证明 设？琢≥？茁，则2？琢≥？琢+？茁.由于2sin？琢=sin（？琢+？茁）≤1，可得sin？琢≤■，即？琢≤30°.

因此2？琢，？琢+？茁都是锐角.

所以sin（？琢+？茁）≤2sin？琢，即2sin？琢≤sin2？琢.

由此可得：cos？琢>1与假设矛盾.

从而？琢

3.与已知的定义，定理，公理矛盾，即得出一个恒假命题

例4 已知如图，弦AB，CD都不是直径，且相交与点P，求证： AB，CD不能互相平分.

证明 假设AB与CD能互相平分，即PA=PB，PC=PD.

又因AB，CD，都不是直径

所以P点与圆心不重合

故存在线段OP，连接OP

又因PA=PB

所以OPAB（平分弦的直径垂直与弦）

又因PC=PD

从而OPCD（平分弦的直径垂直与弦）

这样，过点P有两条直线AB，CD都垂直与OP，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直的公理想矛盾，故AB与CD不能互相平分.

注：有些题看似简单，但要从正面入手几乎是不可能的。

4.自相矛盾

例5 如果一个三角形的两个内角的角平分线相等，则这个三角形是等腰三角形.

已知在ABC中，角平分线CW，CV相等.求证：AB=AC

证明 如右图，过V与W分别引直线平行于BA与BV，设交点为G，连接CG，分别用？琢，？茁表示，∠ABC，∠ACB的一半，用？茁'，？琢'分别表示∠VCG，∠VGC，则由WG=BV=CW，可知WG=CW，故∠WGC=WCG.即？琢+？琢'=？茁+？茁'.

设AB≠AC，则？茁≠？琢，例如？琢>？茁（如果？茁>？琢，同理），于是由？琢+？琢'=？茁+？茁'得到？琢'>？茁'，故VG>VC，因为VG=BW，所以VC

但在CBV与BCW中，BC=CB，BV=CW，？琢>？茁，故VG>BW，同VG

四、应用反证法证题中应该注意的问题

1.有些几何问题用反证法证明时，常常把图形故意作错，在否定了假设之后，这些图形就被否定了。

2.反证法中要对结论做全面的否定.尤其要注意的是，遇到“都…”，“所有…”，“任何…”这一类结论，而要否定时，最易犯的毛病是把“不”加到表示“全体”含义的词后面，犯了否定不全的错误。

3.否定结论后要求推理正确无误，步步有据，并且要真正推出矛盾。由推理本身的错误而产生的矛盾，不能作为反证法的依据。

4.在推理过程中必须要用到“已知条件”，否则证明将会出错。

5.反证法一般无需特意去证某一特定结论，只要由否定结论而导致矛盾即可。

通过以上对于反证法的种种表述，我们知道了反证法在数学解题中有着举足轻重的作用，它不仅是一种重要的证题方法，而且对于传统的定向解题的思维模式是一种创新，这更有利于提高数学中提倡的逻辑思维，因此掌握好反证法是非常重要的。

参考文献

[1]沈文选.初等数学解题研究[M].湖南：科学技术出版社，1996.

[2]李翼忠.中学数学方法论[M].广东：高等教育出版社，1986.

[3]王向东，贾士代.中学数学实用解题方法与技巧[M].北京：兵器工业出版社，1989.8

[4]吴东兴，反证法[J].数学通报：1964，第1期.