蜘蛛网的对数螺旋线模型

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摘 要：针对蜘蛛网结构进行研究，建立以对数螺线为核心的数学模型。通过计算圆形蜘蛛网与对数螺线形蛛网的覆盖面积与长度的关系，得到在面积相同时，对数螺线形蛛网更节省蛛丝的结论；运用蒙特卡洛方法，模拟昆虫触网的过程，得出从概率的角度来说，对数螺线更利于捕食的结论。

关键词：蜘蛛网结构 对数螺旋线 蒙特卡洛方法

中图分类号：O242.1 文献标识码：A 文章编号：1007-3973（2013）008-118-02

1 问题背景

在自然界中，蜘蛛共有约4万种。虽然不是所有的蜘蛛都结网，但在几乎所有科中都有结网型蜘蛛。蛛网的进化经历了绊丝、片网和圆网阶段，并在圆网的基础上，继续进化形成其他类型的网。圆网在蛛网进化上的地位比较特殊，且其结构较其它种类简单、规则；因此，到目前为止对蛛网的研究大都集中在圆网上。圆网由拖丝、捕丝和辅助螺旋丝组成。圆网的形状并不是标准的圆，而是对数螺旋线形，本文主要从两个方面讨论对数螺旋线形的蜘蛛网模型比标准圆形的蜘蛛网模型更具优越性。

2 研究内容

2.1 两种蛛网的覆盖面积与长度的关系

蜘蛛丝是一种天然动物蛋白纤维，所以蜘蛛织网本身就是一种成本投入，而回报就是用这张网捕捉到的猎物。所以，从蜘蛛的角度出发，在相同的捕食效果的前提下，所用蛛丝越少越好。

将蜘蛛网的对数螺旋线和标准圆形模型在同一坐标系中，如图1。

下面计算两种模型蜘蛛网的覆盖面积与周长之比，比值越大说明相对应形状的蛛网越省蛛丝。

需要说明的是由于空间大小的限制，蛛网围绕圈数不可能太多，另外对于螺线形蛛网，随着围绕圈数的增加，蛛网边缘处网线之间的空隙会增加很快，若这一空隙比一般虫子体型直径大很多，则无法起到捕虫的功能，这也制约着蛛网围绕圈数的增加。

由于一般情况下蛛网围绕圈数均大于17，说明从节省蛛丝的角度看，螺线形蛛网比圆形蛛网优越。

为了比较两种蛛网结构对于捕食的影响（昆虫触网的概率大小），下面运用蒙特卡罗方法模拟昆虫飞向蜘蛛网上的过程。

2.2蒙特卡罗方法

假设昆虫飞向蜘蛛网时是一个随机过程，此过程中不考虑环境因素（风向、风速等）的影响。

编写C语言程序，生成二维随机数。将这些随机数在图1中描点，为处理简单，以第一象限为例，其他象限相同，见图4。

将结果绘制表格，如表1。

由此可见，昆虫更可能碰到对数螺线形蛛网.也就是说，对数螺线形的蜘蛛网更有利于捕食。

3 结论

（1）当蜘蛛网的层数大于17，覆盖面积相同时，对数螺旋线形的蜘蛛网比标准圆形的蜘蛛网节省蛛丝。

（2）对数螺旋线形蜘蛛网比标准圆形蜘蛛网更容易捕获昆虫。

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