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“反思”原意为思考过去的事情,从中总结经验教训,现在的反思意为自我反省.斯宾诺莎认为,反思是认识真理的比较高级的方式,黑格尔在反思的认识上达到了一个飞跃,即反思本身也有一个过程.反思的主要方法有质疑反思、换位反思、归纳反思、评议反思等.
在数学教学过程中,教师如果经常性地反思,对提高自我的教学水平会有很大帮助.
下面谈谈笔者在教学过程中的一些体会.
例 求过点P(2,1)且与两坐标轴围成的三角形面积为2的直线的方程.
解:如图,设直线l的斜率为k(显然是存在的).
直线l的方程为y-1=k(x-2).
设l与x轴交于点A,与y轴交于点B.
则A(2-1k,0),B(0,1-2k).
SAOB=122-1k•|1-2k|=2
,解得k=2±32.
所以直线l的方程为y-1=2±32(x-2)
反思:满足条件的直线l为什么只有两条,是否与AOB的面积的大小有关?改变面积的大小是否会影响直线的数量?
探究1:当直线l绕点P旋转时,与坐标轴围成的三角形可能在哪几个象限?
由于点P在第一象限,学生很容易看出,三角形可能存在于第一、第二、第四三个象限.
探究2:当直线l和坐标轴围成的三角形在第二象限时,三角形的面积可能的取值范围是什么?
将直线l绕P点旋转(演示),从动态的三角形可以看出,当l的倾斜角很小时,l与x轴负半轴的交点A与原点O的距离趋向于∞,所以AOB的面积的取值范围为(0,∞).
从这个结论,你能悟出什么?
学生恍然大悟:第二象限内的三角形肯定存在,它的面积可以取任意值,存在性与面积的大小无关.由三角形的存在得出直线l的存在.
同样,当直线l与两坐标轴围成的三角形在第四象限时,三角形的面积可取任意值.直线l也是存在的.
这样无论三角形面积为多少,至少有两条满足条件的直线l.
探究3:如果l与坐标轴围成的三角形在第一象限,它的存在性是否与面积的大小有关?
学生:从原题来看,面积为2且在第一象限的三角形不存在.
那么,为什么不存在呢?你能求出在第一象限的三角形面积的范围吗?
分析:直线经过一定点P(2,1),自然想到设直线的点斜式方程,然后用直线的斜率k分别表示线段OA、OB的长,于是构造出AOB面积S与k的函数关系,然后求出当S取最小值时的k值即可.
解:设直线l的方程为y-1=k(x-2),AOB的面积为S.
直线与x轴正半轴的交点A(2-1k,0),y轴正半轴的交点B(0,1-2k).
S=12|OA|•|OB|=12|2-1k|•|1-2k|=12(2-1k)(1-2k).
(显然S不是k的二次函数,根据关系式特点想到重要不等式)
即S=12[4+(-4k-1k)]=2+12(-4k-1k).
(注意重要不等式成立的条件不可忽视)
直线与x轴正半轴、y轴正半轴分别相交,
k
-4k>0,-1k>0.
又(-4k)•(-1k)=4为定值,
S≥2+12×2(-4k)(-1k)=4.
当且仅当-4k=-1k,即k=-12时,等号成立.
AOB的面积最小值为4,此时直线l的方程为y-1=-12(x-2),即x+2y-4=0.
此外,在设斜率为k时,还可以构造关于k的一元二次方程,利用判别式≥0解得S≥4,所求方程仍为x+2y-4=0.