对平面几何中几个最值问题的分析

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【中图分类号】G633.63 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2012）07-0167-02

在最近几年各省市数学中考试卷的最后一道综合题中，出现了一些最值问题，这些最值问题的提出通常是在平面直角坐标系中，与二次函数的知识综合在一起，但问题往往不能用函数最值的知识去解决，新课程的教材中又找不到相关练习，因此，这些最值问题给学生的中考答卷造成了相当大的困难。实际上，解决这种最值问题用到的都是平面几何中的知识，并且它们的解决思路有一定的规律可循。笔者在初三总复习阶段，对平面几何中常见的几个最值问题先抽取出它们的一般化几何模型，集中起来让学生进行对比学习，然后再加以应用，获得了较好的教学效果。

一、几个最值问题的一般化几何模型

1.已知直线ｌ及其同一侧的点A、B，在直线 ｌ上有一个动点P，当点P在什么位置时，能使PA+PB的值最小？

解析：作点A关于ｌ的轴对称点A′，连接A′B，交直线ｌ 于点P，则AP= A′P ,所以AP+PB=A′B。当点P在直线ｌ上其它位置时，AP+PB= A′P+PB, 这是点A′、B′之间的折线长，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得，AP+PB= A′P+PB> A′B。

所以，当点P是直线A′B与直线ｌ 的交点时，PA+PB的值最小。PA+PB的最小值就是A′B。

2.已知直线ｌ及其同一侧的点A、B，在直线ｌ上有一个动点P，当点P在什么位置时，能使 AP-BP的值最大？

解析：作直线AB交直线ｌ于点P，则 AP-BP=AB ；当点P在直线ｌ上其它位置时（如图），根据三角形任意两边之差小于第三边可得 AP-BP< AB。

所以，当点P是直线AB与直线ｌ的交点时， AP-BP的值最大， AP-BP的最大值等于AB。

3.已知线段AB和AB外的一点C，在线段AB上有一个动点P，当点P在什么位置时，能使点A、B到直线CP的距离之和最大？

解析：设点A、B到直线PC的垂线段分别为AM、BN 。过点C 作线段AB的垂线，垂足为P，则AM+BN=AP+BP=AB；

当点P在直线AB上其它位置时（如图），根据“直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短”可知AM＜AP， BN＜BP，则AM+BN＜AP+BP=AB。

所以，当点P是过C点的垂线段的垂足时，AM+BN的值最大，AM+BN的最大值等于AB。

4.已知在平面内有两条直线m 和n互相垂直，线段AB与直线m 、n没有公共点。在直线m 、n上分别求点M、N，使AM+MN+BN最短。

解析：作点A关于直线m的对称点A′，作点B关于直线n的对称点B′，连接A′B′，分别交直线m 、n于点M、N，则AM+MN+BN= A′B′。

若点M、点N都在其它位置时，则AM+MN+BN=A′M+MN+B′N，这是点A′、B′之间的折线长，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得AM+MN+BN=A′M+MN+B′N >A′B′。

所以，当点M、N是直线A′B′与直线m 、n的交点时，AM+MN+BN最短，AM+MN+BN的最小值等于A′B′。

最值问题也是动点问题，教师要让学生学会用运动变化的思想来分析问题，并从这些问题的解法中总结它们的的共同特点，掌握规律，又要注意区分这几个问题在条件、解法上的不同之处，避免混淆。

二、几个最值问题的应用

解决以上四个最值问题用到的都是一些基本的图形性质，如线段的性质、垂线的性质、三角形三边的关系、轴对称的性质等，但是由于解决这些最值问题对学生的逻辑推理能力、对思维的深刻性有较高的要求，所以它们往往与二次函数的知识综合在一起，成为中考数学的压轴题。在教学中，教师要引导学生结合不同的问题情景，分析问题和解决问题，还要把平面几何中的最值问题与二次函数的最值问题区分开来。这样，学生在解决此类综合题的时候，才能游刃有余，迅速而又正确地找到解题的思路。下面通过两个例子来说明。

例1：已知直线y＝■x＋1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y＝■x2＋bx＋c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)。

（1）求该抛物线的解析式；

（2）动点P在x轴上移动，当PAE是直角三角形时，求点P的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM－MC|的值最大，求出点M的坐标。

解析：此题的第（3）问是把上文一般模式中的第2个最值问题放在了二次函数的问题情景中，由第（1）问确定的抛物线解析式y=■x2-■x+1可知，抛物线的对称轴是直线x=■， 因为B、C两点关于直线x=■对称，所以，MC＝MB。要使|AM－MC|最大，就是使|AM－MB|最大。所以，当A、B、M在同一直线上时，|AM－MC|的值最大，|AM－MC|的最大值等于AB。 由A（0，1）、B（1，0）容易得出直线AB的解析式为y=-x+1，所以，直线AB与对称轴直线x=■的交点就是M（■，－■）。

例2：以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系。已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处。

（1）直接写出点E、F的坐标；

（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；

（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由。

解析：此题的第（3）要使四边形MNFE的周长最小，只要FN+NM+ME的值最小即可。由上文的一般模式中第4个最值问题的分析可知，作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，连接E′F′，分别与x轴、y轴交于点M、N，则点M、N就是所求点。容易得出BF′=4, BE′=3，所以， FN+NM+ME=E′F′=■=5。

又EF=■=■，所以，FN+NM+ME+EF=5+■，此时四边形MNFE的周长最小值是5+■。