有趣的圆的无滑动滚动

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问题背景：如图1，我们知道，当半径为1的圆形纸片，在一直线上作无滑动地从点A滚动到点B时，圆形纸片滚动的距离AB等于圆心移动的距离CD.显然，这个圆自转的圈数应等于圆心移动的距离CD与圆周长2π的比值.若AB的长度为10π，那么该圆自转的圈数应为10π2π=5（圈）.

图1

问题思考1：若保持圆形纸片半径和AB的长度都不变，只是把线段AB弯制成三角形.当该纸片沿着此三角形的外沿无滑动地滚动一周时，该圆自转的圈数是否会改变？

探究1：如图2，设由线段AB弯制成的三角形为CDE，则当圆形纸片沿CDE外沿无滑动地滚动一周时，圆心移动的距离应是CDE的周长与三个顶点处的三段弧长的和.

图2

10π+a1+a2+a3

=10π+π・1180（180°×3-180°）

=12π.

此时，圆形纸片自转的圈数为12π2π=6（圈）.

把长度为10π的线段弯制成三角形时，圆形纸片在三角形外沿无滑动地滚动一周，该纸片自转的圈数比在直线上滚动10π时，多转了1圈.

类似地，不难发现，把长度为10π的线段，弯制成任意多边形时，半径为1的圆形纸片沿其外沿自转一周时，其自转的圈数都比在其同长度的线段上多1圈，即恒为6圈不变.（不妨请同学们自己尝试画图证明）

问题思考2：若把长度为10π的线段弯制成圆形，使半径为1的圆形纸片沿其外沿无滑动地滚动一周，那么，该圆形纸片自转的圈数是多少呢？

探究2：如图3，设A的周长为10π，半径为1的圆形纸片，沿O外沿无滑动地滚动一周.此时，圆形纸片的圆心移动的距离是以 O为圆心，OA长为半径的圆，即圆心移动的距离为2×6π=12π，该圆形纸片自转的圈数为：12π2π=6（圈）.

图3

结论归纳：半径为1的圆形纸片，在直线上无滑动地滚动10π时，纸片自转的圈数为5，在周长为10π的圆或任意多边形外沿无滑动地滚动一周时，自转的圈数恒为6.

结论揭秘：上述问题中，之所以半径为1圆形纸片在周长为10π的圆或任意多边形的外沿作无滑动滚动一周，比在直线上滚动10π时自身多转了一圈，是因为在圆或多边形外沿作无滑动滚动，比在直线上多了一些“拐点”（在圆上滚动时可看做无数个”拐点”），而在各个“拐点”处，圆形纸片的圆心转动形成的各段弧所对的圆心角之和恰好为一个周角.

如图4，若n边形的周长为10π，n个顶点处n段弧的圆心角之和为360°，刚好为n边形的外角和.圆心滚动的距离为n边形的周长与这n段弧的和，即10π+2π=12π.该圆形纸片自转的圈数为：12π2π=6（圈）.

图4

利用该结论，我们可以计算出半径为r的圆在直线上、在圆或任意多边形的外沿作无滑动滚动时圆心移动的距离，也可以求出该圆自转的圈数.