浅析构造性证明

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摘 要：学习高等数学的困难之一，在于它的论证方法难以理解和掌握。本文试图对构造性证明问题进行一些分析和归纳，探讨某些规律，使教者做到心中有数，有的放矢，使读者学习时减少盲目性，增加自觉性。

关键词：构造性；Cauchy；Lagrange

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2012）02-0183-01

有些问题的论证，要先造一个函数，一个算式，甚至一个辅助命题才能完成，我们把这种论证方法叫做构造性证明。

例如，设f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导（0≤a

证明：作函数F（x）=■tdt则F（x）在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，F'(x)=x≠0。

由Cauchy公式，得■=■=■，?浊∈(a,b) 1

在由Lagrange公式，又有■=f‘(?孜)，?孜∈(a,b)2

1*2,并注意F（a）=0，F（b）=■tdt=■（b2-a2）,得f'(?孜)=■f'(?浊)

我们之所以想到作函数F（x），还是出干对命题结论的分析。对照间题的结论,我们自然想到微分中值定理。经试验,只用Lagrange中值公式是不行的,那就只有用Cauchy公式，但这时缺少一个函数, 因此要造一个函数F（x）。则■=■=■=，u∈(a,b)对分母再应用Lagrangef(b)-f(a)=f'(?孜)(b-a),?孜∈(a,b),得f'(?孜)=■f'(?浊)

由此可见,所造函数如果具有下述性质:F'（x）=x,F（a）=0,F（b）=■（b2-a2）

问题就得到证明了。那么怎样的函数具有这种性质呢?如果很熟悉积分的性质,自然就会想到函数F（x）=■tdt满足要求。

通过上述分析，我们可以看到，构造性证明也是分析性证明， 所不同的是技巧性比较高。如果说分析性证明是很基本的，那么构造性证明则是在关键步骤有了一个“飞跃性的创造”，构造一个新的函数、算式或辅命题,作为解决问题的桥梁。一般说来，构造性证明都是较难的，正因为这样，我们把它从分析性证明中区分出来，以便给以充分的注意。显而易见，构造性证明是进行创造性工作不可缺少的重要方法,因此是十分重要的。数学上一些重大突破或开拓性工作常常都要使用构造性方法。就是在高等数学中也是屡见不鲜的,例如Lagrange以及Cauchy中值定理的证明均属构造性证明。

参考文献

[1]高等数学，西北工业大学高等数学教材组，科学出版社，2008.