圆锥曲线解题之道(上)
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圆锥曲线问题是历年高考的主要内容之一，常以“一小一大”的题型出现，小题以考查圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质为主，大题以考查圆锥曲线与直线、圆的位置关系为主.这类试题表面看题型灵活、运算量大，难于把握，其实题型稳定，只要将基础落实，注意题型与解题方法的总结，解决之也并非难事.
[HTH]一、加强定义、标准方程、几何性质的对比[HT]
圆锥曲线的定义、图形、标准方程、几何性质是全面深入理解圆锥曲线的基础.对其进行全面的探讨，对易混淆的概念加以对比、甄别，对带有共性的概念加以概括，可以为解题打下坚实的根基.
1.全面理解椭圆与双曲线的定义
对于椭圆与双曲线的定义、方程，教材已给出了明确的说明与推导，但是有一些“隐言”，我们还需全面挖掘.
[HTH]例1[HT] 已知两定点F1,F2和一动点M,则“|MF1|+|MF2|=2a(2a为正常数)”是“点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆”的( ).
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)非充分非必要条件
[HTH]解[HT]：当2a=|F1F2|时，点M的轨迹为线段F1F2；当2a＞|F1F2|时，点M的轨迹为椭圆;当2a＜|F1F2|时，[JP3]点M的轨迹不存在.故|MF1|+|MF2|=2a[KG-*3/4]/[KG*2]点M的轨迹为椭圆.由椭圆定义可知，反之可行.故选B.[JP]
[HTH]评注[HT]：本题易错选C，这不是粗心大意的问题，而是对基本概念认识不全面、不到位.对于双曲线的定义也需作类似的深入理解.
2.局部甄别椭圆与双曲线的异同
高考中，与椭圆、双曲线有关的三个常考点为：离心率，a,b,c的关系，双曲线的渐近线.前者在椭圆与双曲线中的表达形式同为e=ca，而后两者却相异，在椭圆中有c2=a2－b2，在双曲线中有c2=a2+b2，且只有双曲线有渐近线，椭圆没有.
[HTH]例2[HT] 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)与双曲线x2m2－y2n2=1(m＞0,n＞0)有相同的焦点F1，F2，且一个交点为P，PF1•PF2=0.
(Ⅰ)求椭圆的离心率的取值范围；
(Ⅱ)若椭圆的离心率为32，求双曲线的离心率与渐近线方程.
[HTH]解[HT]：(Ⅰ)设椭圆与双曲线的半焦距均为c，由题意知，|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|－|PF2|=2m.(不妨设|PF1|＞|PF2|)解之，得|PF1|=a+m，|PF2|=a－m.
又PF1•PF2=0，
|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，
(a+m)2+(a－m)2=(2c)2，
即a2+m2=2c2，故(ac)2+(mc)2=2.
设椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2，则
1e21+1e22=2，1e22=2－1e21.
由0＜1e22＜1,得0＜2－1e21＜1，
解之，得22＜e1＜1.
(Ⅱ)当e1=32时，代入1e22=2－1e21，得e2=62，即cm=62，故m=63c.
又c2=m2+n2， n=33c，于是双曲线的渐近线为y=±mnx，即y=±2x.
[HTH]评注[HT]：解决本题需要对椭圆与双曲线的定义、标准方程、离心率及双曲线的渐近线等概念非常清晰，否则解题思路易混乱.
3.高度概括抛物线的标准方程与图形的关系
相对于椭圆与双曲线，抛物线的形式更为多样化，而且易引起图形、标准方程、焦点与准线之间的混淆.其实经对比分析，可概括为如下两点：
(1)对称轴由一次项决定，开口方向由一次项的系数决定；
(2)焦点与p2相关，准线与焦点对应，结合图形可确定.
[TPSX3.tif,Y#][TS(1][JZ][HT6H]图1[TS)][HT]
[HTH]例3[HT] 已知抛物线y=－x2上一点P到其焦点F的距离为54，则点P的坐标为.
[HTH]解[HT]：抛物线标准方程为x2=－y，故其对称轴为y轴，且开口方向向下，其图象如图1所示，又2p=1，p2=14，由图1知，F(0,－14)，抛物线的准线方程为y=14.
设P(x0,y0)，则14－y0=|PF|=54，
y0=－1.
又y0=－x20，故x0=±1，
点P的坐标为(－1,－1)或(1,－1).
[HTH]评注[HT]：本题从方程回归到图形，借助图形直观快捷地解决了问题.这得益于从整体上对抛物线的图形、标准方程、焦点与准线的高度概括与把握.
[HTH]二、关注与圆锥曲线相关典型结论的收集[HT]
过程繁杂，结果简洁，是解几问题的特色.长期以来吸引着众多数学爱好者投身其中，使得一些新结果层出不穷，不少高考题就是以这些结果为背景编拟的，所以我们平时多收集一些典型的结论，对提高解题效率大有裨益.
1.与椭圆相关的一些典型结论
(1)形状：离心率e1，椭圆越扁.
(2)同焦点：与椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)有相同焦点的椭圆方程为x2a2+k+y2b2+k=1(a＞b＞0,b2+k＞0).
(3)距离：①过焦点F2的弦长中,以垂直F1F2的弦(通径)最短；
②直线l过焦点F1,与椭圆交于两点A,B,则ABF2的周长为定长4a(两次用定义可得)；
[JP3]③弦长公式:斜率为k的直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|=1+k2|x2－x1|=1+1k2|y2－y1|.[JP]
(4)面积：①点M在椭圆上,则焦点三角形F1F2M的面积SF1F2M=b2tan∠F1MF22(可由定义及余弦定理推导)；
②直线l过椭圆的左焦点F1,与椭圆交于两点A,B,则当lF1F2时，ABF2的面积的最大值为2b2e(可由SABF2=SOF2A+SOF2B推导).
(5)直线的方程：①直线l过椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)内一点P(x0,y0)(非中心),与椭圆交于A，B两点,且点P平分弦AB,则直线l的方程为x0xa2+y0yb2=x20a2+y20b2(设出A，B的坐标,代入椭圆方程后,两式相减,代入P的坐标,可求斜率,进而可求)；
②直线l与椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)切于点P(x0,y0),则直线l的方程为x0xa2+y0yb2=1(由方程组法可得).
以上结论请读者根据提示自行推导，这里不再详述，对于双曲线、抛物线的结论亦然.
[HTH]例4[HT][HTK](2011年全国卷Ⅰ)[HT]椭圆C的中心为原点，焦点F1,F2在x轴上，离心率为[SX(][KF(]2[KF)][]2[SX)].过F1的直线l交C于A,B两点，且ABF2的周长为16，那么C的方程为.
[HTH]解[HT]：由结论(3)的②知，4a=16，即a=4，而ca=22，则c=2[]2，得b2=8，
故C的方程为x216+y28=1.
评注：熟悉一些典型结论便于直截了当地处理问题.
2.与双曲线相关的一些典型结论
(1)形状：离心率e1，双曲线越扁.
(2)同焦点:与双曲线x2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)有相同焦点的双曲线方程为x2a2+k－y2b2－k=1(a,b,a2+k,b2－k＞0).
(3)距离：①过右焦点F2的弦长中,以垂直F1F2的弦(通径)最短；
②直线l过焦点F1,与双曲线左(下)支交于两点A,B,则|AF2|+|BF2|－|AB|=4a.
(4)面积：①点M在双曲线上,则焦点三角形F1F2M的面积SF1F2M=b2tan∠F1MF22；
②直线l过双曲线的左焦点F1,与双曲线交于两点A,B,则当lF1F2时，ABF2的面积的最小值为2b2e.
(5)渐近线：①两条渐近线互相垂直两条渐近线为y=±x等轴双曲线e=2；
②以直线y=±kx为渐近线的双曲线方程为y2－(kx)2=λ(λ≠0)；
③与双曲线x2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)有相同渐近线的双曲线方程为x2a2－y2b2=λ(a＞0,b＞0,λ≠0).
[HTH]例5[HT] 已知双曲线x2a2－y2b2=1(a＞0,b＞0)的两条渐近线互相垂直,则直线l1:ax+by+a=0与直线l2:x+y+k=0(k＞1)的位置关系是.
[HTH]解[HT]：由（5）中的结论①知，该双曲线为等轴双曲线，即a=b, l1:x+y+1=0.
又k＞1,于是l1∥l2.
评注：本题省去了(ba)•(－ba)=－1a2=b2a=b的推导过程，直接得到了答案.
3.与抛物线相关的一些典型结论
(1)形状：p(p＞0)的值越小，抛物线越扁.
(2)距离：过焦点F的弦长中,以垂直对称轴的弦(通径)最短.
(3)焦点弦：直线l过焦点F,与抛物线y2=2px(p＞0)交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则
①|AB|=x1+x2+p;
②以AB为直径的圆与准线相切；
③x1x2=p24,y1y2=－p2；
④∠AOB为钝角；
⑤设F′(－p2,0)，则当lF′F时，ABF′的面积的最小值为p2.
[HTH]例6[HT] 直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点,O为原点，则OAB的面积的最小值为.
[HTH]解[HT]：由结论（3）中的⑤知，设F′(－1,0)，则SABF′=2SOAB，当ABx轴时，(SABF′)min=p2=22=4，故(SOAB)min=2.
评注：本题的常规解法需分“ABx轴”与“AB与x轴不垂直”两种情况讨论，前者算得OAB面积的最小值为2，后者需设AB：y=k(x－1)，与y2=4x联立，运用SOAB=SAOF+SBOF计算SOAB（含有k），再证明SOAB＞2，这恰好重复了结论（3）的⑤的推演，运算量较大.
平时注重基础知识、基本概念的探究，并多留心收集、推导、整理一些常用的结论，对学习与解题可带来直接的帮助.