透现象 看本质

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学好数学，我们要有“化繁为简，化未知为已知”的转化思想，同时要“抓住问题的本质”.求曲线的切线方程是在学习了导数的概念和几何意义以及直线方程的基础上研究的.要想准确地求解曲线切线方程的相关问题，需要明确以下几点：

1．求曲线y=f(x)切线方程时，通常选点斜式：y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).

2．斜率k=f′(x0).

3．如果曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线平行于y轴（此时导数不存在），则切线方程为x=x0.

4．“在点P处”的曲线切线方程，一定是以点P为切点；“过点P处”的曲线切线方程，不论点P是否在曲线上，点P都不一定是切点.

5．切点P(x0,f(x0))既在曲线上，也在切线上.

下面举例说明.

一、求“在某点处”的曲线切线方程，即已知切点，求曲

线的切线方程

例１ 已知曲线方程为y=x2，求在A(2,4)处与曲线相切的直线方程.

解：y=x2,

y′=2x.

f′(2)=2×2=4.

切线方程：y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.

在A(2,4)处与曲线相切的直线方程：4x-y-4=0.

变式1：设函数f(x)=xekx(k≠0)，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程.

解：f′(x)=ekx(kx+1),当x=0时,f′(0)=1,f(0)=0,所以切线方程为y=x.

变式2：若曲线y=x-12在点(a,a-12)处的切线方程与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a的值为（ ）.

A．64 B．32 C．16 D．8

解：y′=-12x-32,

f′(a)=-12a-32.

切线方程式：y-a-12=-12a-32(x-a),

即x3a+y32a-12=1.

12×3a×32a-12=18,即a12=8.

a=64.

答案为A.

二、求“过某点处”的曲线的切线方程.

例2 已知曲线y=13x3+43,求曲线过点P(2,4)的切线方程.

分析：点P(2,4)在曲线y=13x3+43上，但点P不一定就是切点，所以应先设出切点坐标，再求斜率.

解：设切点M(x0,y0),则y0=13x03+43．

又y′=x2,

f′(x0)=x02.

切线方程：y-(13x03+43)=x02(x-x0).

又点P(2,4)在切线上,

4-(13x03+43)=x02(2-x0).

整理得：(x0+1)(x0-2)2=0.

解得：x0=-1或x0=2.

当切点为(-1,1)时，切线方程为y=x．

当切点为(2,4)时，切线方程为4x-y-4=0．

所以曲线过点P(2,4)的切线方程为x-y=0或4x-y-4=0．

变式1：已知曲线方程为y=x2，求过点P(2,4)且与曲线相切的直线方程.

分析：因为y=x2为二次函数，点P(2,4)在曲线y=x2上，所以“过点P(2,4)处”的切线就是“在点P(2,4)处”切线，故不必设切点坐标.解略.

变式2：若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则l的方程为（ ）．

A.4x-y-3=0 B.x+4y-5=0

C.4x-y+3=0D.x+4y+3=0

分析：本题可先求出切线l斜率为4，因为没给出切点，所以需先设出切点坐标,然后进行求解.

答案为A．

总结：求曲线切线方程步骤：１．先判断点P,是“在点P处”，还是“过点处”；２．①若“在点P处”，点P一定是切点；②若“过点P处”，点P不一定是切点，需令出切点坐标；３．求出切线斜率k=f′(x0)；４．利用点斜式写出切线方程：y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)，最后整理成一般式.