圆锥曲线离心率中蕴含的数学思想

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求圆锥曲线离心率的取值范围是高考的一个热点，也是一个难点，求离心率的难点在于如何建立不等关系定离心率的取值范围常有：三角形边长关系、判别式、几何关系、函数值域、均值不等式等，除要掌握解析几何的基本知识和方法如：圆锥曲线定义及性质，又常与其它内容（向量、函数、方程、不等式等结合）是对学生综合能力考查的好方式，其中蕴含了不少数学思想，下面就结合实例指出几点：

一、体现函数与方程思想

例1、设，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）

A. B. C.（2，5） D.

【解析】B ..，根据二次函数值域可得。

【点评】就式子的范围一元常用函数思想求值域，有时涉及均值不等式等。

二、 突显数形结合的数学思想

例2、已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）

A.（1，2] B.（1，2） C.[2，+∞） D.（2，+∞）

【解析】如图l1与l2分别为与双曲线的渐近线平行的两条直线，直线l为过F且倾斜角为60°的直线，要使l与双曲线的右支有且只有一个交点，则应使..

【点评】此处利用双曲线几何性质，用所给定直线和渐近线的关系确定渐近线斜率范围，从而求出离心率范围.

例3、设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.求双曲线C的离心率e的取值范围：

【解析】由C与l相交于两个不同的点，故知方程组有两个不同的实数解.消去y并整理得（1-a2）x2+2a2x-2a2=0 ①

所以解得0

双曲线的离心率

所以双曲线的离心率取值范围是

三、 蕴含化归思想

例4、双曲线的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且，则双曲线离心率的取值范围是（ ）

A.（1，3 ） B.（1，3] C.（3，+∞） D.[3，+∞）

【解析】B可用三角形的三边关系求解，但注意取等条件.

如图，在中

（后者在P与A1重合时取等），又，则2a

【点评】和焦点三角形相关的问题可以考虑用三角形三边关系来建立不等式。

四、 常有分类讨论思想

例5、椭圆的离心率e=，则k的值等于（ ）

A.4 B.- C.4或- D.-4或

【解析】C若焦点在x轴，则中k+8>9即k>1，此时解得

若焦点在y轴，则0

所以k=4或k=-。

评：数学思想方法的学习和领悟能使所学的知识不再是零散的知识点，它能帮助形成有序的知识链，建立良好的认知结构；它是铭记在人们头脑中起永恒作用的数学观点和文化，是使提高数学思维水平，建立科学的数学观念，从而发展数学、运用数学的保证。因此必须重视数学问题中蕴含的思想方法。