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培养学生的探究能力是新课程标准中积极倡导的一项重要内容。在此背景下,各地的中考试卷中出现了许多新颖的几何探究题。笔者通过几例,对其中的一类略作说明。
一、相同思路证明同一结论
例1(2007年天津)如图1,AD是圆O的直径,BC切圆O于点D,AB、AC与圆O相交于点E、F。
(1)求证:AE・AB=AF・AC;
(2)如果将图1中的直线BC向上平移与圆O相交得图2,或向下平移得图3,此时,AE・AB=AF・AC是否仍成立?若成立,请证明,若不成立,说明理由。
分析(1)通过证明ADE≌ABD以及ADF≌ACD两次相似得到结论;对于直线与相交或相离,可利用同(1)的方法进行证明。
证明(1)如图1,连接DE
AD是圆O的直径∠AED=90°
又BC切圆O于点D
ADBC,∠ADB=90°
在RtAED和RtADB中,∠EAD=∠DAB
RtAED≌RtADB
同理连接DF,可证RtAFD≌RtADC,AF・AC=AD2
AE・AB=AF・AC
(2)AE・AB=AF・AC仍然成立
如图2,连接DE,因为BC在上下平移时始终与AD垂直,设垂足为D′
则∠AD'B=90°
AD是圆O的直径
∠AED=90°
又D'AB=∠EAD
RtAD'B≌RtAED
同理AF・AC=AD'・AD
AE・AB=AF・AC
同理可证,当直线BC向下平移与圆O相离如图3时,AE・AB=AF・AC仍然成立
例2(2007年北京)我们知道:有两条边相等的三角形叫等腰三角形。类似地,我们定义:至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。
(1)请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称;
分析 (1)由定义易写出许多这样的特殊四边形;(2)易得∠BOD(或∠COE)与∠A相等,猜想四边形DBCE是等对边四边形。可通过在OE上截取或分别作BE、CD边垂线,也可以C为顶点作一个角等于∠DBC进行证明;(3)方法同(2)。
解(1)平行四边形。
(2)答:与∠A相等的角是∠BOD(或∠COE),四边形DBCE是等对边四边形;
(3)答:此时存在等对边四边形,是四边形DBCE。
证明如图2,以C为顶点作∠FCB=∠DBC,CF交BE于F点。
BDC≌CFB
BD=CF,∠BDC=∠CFB
∠ADC=∠CFE
∠ADC=∠DCB+∠EBC+
∠ABE,∠FEC=∠A+∠ABE
∠ADC=∠FEC
∠FEC=∠CFE
CF=CE
BD=CE
四边形DBCE是等边四边形
特别地,当AB=AC时,BD=CE仍成立。
二、相同思路求线段长
例3 (2006年山东淄博)半径为2.5的O中,直径AB的不同侧有定点C和动点P。已知BC∶CA=4∶3,点P在弧AB上运动,过点C作CP的垂线,与PB的延长线交于点O
(1)当点P与点C关于AB对称时,求CQ的长;
(2)当点P运动到弧AB的中点时,求CQ的长;
(3)当点P运动到什么位置时,CQ取到最大值?求此时CQ的长。
分析(1)由已知条件,易求出AC、BC的长,利用面积公式或三角形相似可求出CD的长。即求出了CP的长,所以求CQ的长时可利用PCQ≌ACB进行。(2)由(1)可知CQ= PC,在(2)中仍然成立。这样可过点B作PC垂线,利用相似或三角函数先求出PC长。(3)欲求CQ最大值,此时PC要最大。故当PC过圆心O时,CQ取到最大值。
解(1)当点P与点C关于AB对称时,CPAB,设垂足为D。
AB为O的直径,
∠ACB=90°。
AB=5,AC∶CA=4∶3,
BC=4,AC=3。
又AC・BC=AB・CD
在RtACB和RtPCQ中,
∠ACB=∠PCQ=90°,∠CAB=∠CPQ,
RtACB≌RtPCQ
(2)当点P运动到弧AB的中点时,过点B作BEPC,于点E(如图)。
P是弧AB的中点,
∠PCB=45°,
又∠CPB=∠CAB
故PC最大时,CQ取到最大值。
三、相同思路证明并求解
例4(2007年江苏盐城)操作:如图1,点O为线段MN的中点,直线PQ与MN相交于点O,请利用图1画出一对以点O为对称中心的全等三角形。
根据上述操作得到的经验完成下列探究活动:
探究一如图2,在四边形ABCD中,AB∥DC,E为BC边的中点,∠BAE=∠EAF,AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系,并证明你的结论;
探究二如图3,DE、BC相交于点E,BA交DE于点A,且BE∶EC=1∶2,∠BAE=∠EDF,CF∥AB。若AB=5,CF=1,求DF的长度。
分析由对称可知,只需在直线PQ上,在点O的两边截取相等的两部分即可。在探究一、探究二的活动中,分别延长AE和CF,利用全等可得AB=AF+CF,利用相似可求DF的长。
解(1)画图略
(2)结论:AB=AF+CF
证明分别延长AE、DF交于点M。
E为BC中点BE=CE
AB∥CD∠BAE=∠M
又∠AEB=∠MECABE≌MCE
AB=MC
又∠BAE=∠EAF∠M=∠EAF
MF=AF
又MC=MF+CF
AB=AF+CF
(3)分别延长DE、CF交于点G。
AB∥CF
∠B=∠C,
∠BAE=∠G
ABE∽GCE
AB=5 GC=10
FC=1GF=9
AB∥CF ∠BAE=∠G
又∠BAE=∠EDF
∠G=∠EDF
GF=DFDF=9
综上所述,这类几何探究题的解题思路往往是相同的,结论也往往是不变或相近的。只要仔细探究,一定会找到解决的途径。
注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”