透析教材教法定位“鸡兔”同笼教学目标

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【摘要】“鸡兔”同笼问题作为我国的古代趣题之一，以其丰富的教育教学内涵传承至今并广为流传。各个版本教材中对这一内容都有介绍，各个年级的学生对这个问题也略有知晓。本文在分析各个版本教材和知名专家教法的基础上定位自己的教学目标和教学方法，试图通贯一年级到六年级甚至初中解题方法之间的联系，培养学生灵活思维的能力，全方位认识鸡兔同笼的教育教学价值。

【关键词】鸡兔同笼 教材教法 教学目标

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）03-0138-03

“鸡兔同笼”是我国古代著名趣题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？古人解答“鸡兔同笼”的方法主要是假设法，于是，假设法也成为了解答“鸡兔同笼”的主要方法。发展至今，“鸡兔同笼”已经成为了一类问题的代名词，称为“鸡兔同笼”问题。

一、各种版本教材分析

“鸡兔同笼”作为一种经典名题，从教育的角度看，定位于不同解题方法不是随意的，我们所接触到的各个版本教材都有自己的独到之处，将解法的难度与学生的可接受水平结合起来进行了充分的考量。归纳起来，基本有这样的逻辑序列：一年级可以应用数形结合的思想选择画图法，二、三年级可以应用枚举的思想选择列表法，四年级可以应用假设的思想选择假设法，五年级可以应用方程的思想选择方程法。在国标新教材中，不少版本都有编排。比如，北师大版五年级上册“尝试与猜测”中用它来让学生学会表格列举；苏教版六年级上册将之作为一道练习题来巩固“假设和替换”的策略；而人教版则是浓墨重彩，在六年级上册“数学广角”中用6个页码详细介绍了“鸡兔同笼”问题的出处、多种解法及实际应用。

人教版编排“数学广角”主要是想“通过简单的事例渗透一些重要的数学思想方法，或者介绍一些比较著名的数学问题，让学生在解决这些问题的过程中能主动尝试从数学的角度运用所学知识和方法寻找解决问题的策略，培养学生解决实际问题的实践经验和能力。最重要的目的是让学生通过接触这些重要的数学思想方法，经历猜想、实验、推理等数学探索的过程，激发学生对数学的好奇心和求知欲，增强学生学习数学的兴趣。”从而逐步实现《标准》所提出的教育教学目标。比如“鸡兔同笼”问题，就是借助于古代的数学名题，教授学生运用猜测法、列举法、假设法、代数法等方法解决问题，教师在教学时不能仅仅局限于问题本身，而应通过解决问题帮助学生掌握解题的一般方法，获得必要的数学知识。因此，教师要充分了解人教版编排“数学广角”的这些目的和意义，才能在教学时做到心中有数，准确把握。

人教版实验教材《教师用书》上对这个编排是这样说明的：一方面可以培养学生的逻辑推理能力；另一方面使学生体会代数方法的一般性。对这个内容的编排特点是这样阐述的：1. 由《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题引入，激发学生的解题兴趣。2. 注重体现解决“鸡兔同笼”问题的不同思路和方法。3. 拓宽对“鸡兔同笼”问题的认识，明确其在生活中的应用。

二、各地名家教法分析

按理说，教师用书上有如此清晰的说明，那么本课的教学应该是没什么争议，有一个统一的教学结构。然而实际却并非我们想象的那样。据了解，目前六年级教学“鸡兔同笼”问题的方法是大相径庭，主要有以下几种课型结构：

1.几种方法一起教的。

这种课现在较为多见。在我看到的网络视频教学实录中，几乎都是这样的课型。其中以列表、假设和方程三种方法一起教学居多。因为列表可以让那些学习能力相对较弱的学生有一个解题的模型，使他们也能较好地解答“鸡兔同笼”问题。而假设法和方程则可以让那些学习较好的学生根据自己的喜好选择使用。这样就可以实现“全面掌握”的目标。也有在课堂上专门教学假设法和方程的。因为列表太低级了，六年级的学生应该可以理解假设法和方程的，至少可以掌握其中的一种方法，因此在课堂上只要重点教学这两种方法就可以了。

2.专门教一种方法的。

在一些活动中，也有只教学一种方法的。这样做的老师认为：在一堂课40分钟中，既要教学列表，又要教学假设法，还要教学方程，到最后往往是一样都没有吃透。与其如此，不如在课堂上就教学一种方法，并把这种方法放大、教透。其中，以专门教学假设法的居多。因为假设法是解答“鸡兔同笼”问题的主要方法，因此选用假设法是名正言顺了的事情。如果以方程为主要方法，那么除了问题本身之外，在计算层面上还要面对一个新的问题――如何解“鸡兔同笼”问题的方程，因为“鸡兔同笼”问题的方程明显高于小学阶段方程教学的要求。如果这样理解，那么选择假设法就显得更为合理了。

3.将学生置于一种“已会”状态的。

刚刚看了一位名师的课堂实录。这位老师就是将学生置于了一种“已会”的状态，具体做法是：呈现“鸡兔同笼”的典型问题，学生独立解答，反馈交流学生的方法，有假设法、方程、枚举等，在让学生解释自己的方法的同时，教师进行简单地引导，最后通过对比，让学生感悟假设法的优点，就算完成了“鸡兔同笼”问题解法的教学。教师虽然没有明说要用假设法解题，但在无形中还是体现着以假设法为主的思想。

分析这几种课型，虽然出现了与《教师用书》不相吻合的情况，但其做法都是有道理的，都有自己对“鸡兔同笼”问题教学的理解。那么就给我们带来了一个困惑：六年级到底该怎么教学“鸡兔同笼”问题？

三、学生学习现状分析

在上面说到的几种课型中，出现了解答“鸡兔同笼”问题的几种基本方法：假设法、方程法、列表法、枚举法和画图法。我们想象一下，在学生还不曾接触过“鸡兔同笼”问题的前提下，让学生尝试解答“鸡兔同笼”问题，他们会出现哪些方法呢？六年级学生知道“鸡兔同笼”问题也是很正常的。因为“鸡兔同笼”是中国趣题之一，“鸡兔同笼”这个名词在中国夸张的说可谓“妇孺皆知”，而问题的解决方法，很多家长可能早就与孩子讲过，学生也可以通过很多渠道了解甚至是掌握这方面的知识。正因为如此，就给六年级教学“鸡兔同笼”问题带来了新的挑战。那么学生的知道程度到底怎么样呢？我们不敢断言。但我们可以通过一些调查，说明一些问题。检测分两次进行，第一次是在学生没有一点准备的情况下的盲测，第二次是在学生自学完课本之后的再测。

调查的题目和问题：

题目：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。笼子里有鸡和兔各几只？

问题：

1.像上面这样的问题我们一般称为（ ）问题。

2.这个名称你大概在（ ）年级时知道的？是怎么知道的？

3.你有什么办法可以把这道题目解答出来？（把你的方法写下来，列式，画图，方程，列表，文字说明都可以，能用几种解答就用几种方法。）

调研对象及样本数量：六年级两个班，共计65人。

调研结果分析：

学生对于列表法掌握的情况最为理想。列表法应用的是数学中的枚举思想，其特点是简洁，这种起点低、易操作的解题方法在学生的脑海中留下了深刻的印象，被广大学生所接受、理解。学生应用了枚举的思想，经历了列表、尝试和不断调整的过程，从中体会数学的乐趣。

对于画图法，调研学生中有60.47%采用。通过调研后的访谈，我进一步了解到，学生基本上都会画图法，但是有一部分学习情况较好的学生认为画图法容易受数据太多太大的影响而没有使用。看来，学生对于这一解题方法还是基本认可的，它所存在的局限性学生也是有所了解的。

假设法，调研学生中有58.14%采用。就数学学习本身而言，假设法是一种重要的解题方法，许多问题都可以用假设的方法而得到解决。而鸡兔同笼问题的算术解法就是依据假设的方法来解决的。单就前文所述的列表法其中也蕴含着假设的思想，此外还有一些“化归法”“砍足法”以及上面提到的公式法，归根结底都是应用了假设的数学思想。因此，教师应该引导学生在反复运用列表方法的基础上，渗透并让学生真正理解假设的方法，以便为学生掌握鸡兔同笼的算术解法奠定基础，同时也为培养学生的思维能力奠定基础。

方程法的调研结果仅为11.63%。单从解题方法的角度而言，方程法远比画图、列表之类的方法要快捷、简便，这种简便有其固有的数学价值，但是六年级的学生对此却并不乐于接受。在后续的访谈中，我进一步了解到学生不用方程法的主要原因有两个：一是“不习惯用”；二是“不会用”。的确，解决“鸡兔同笼”问题的一元一次方程，在设句、列法、解法上，明显超过六年级所学方程的难度。同时，χ在减数位置的方程，现行教材回避教学，学生不会解答，对未知数在减数位置的情况没有深刻的认知，只有设每份数大的为χ才可以避免。学生的这些认知基础，导致他们对于列方程解“鸡兔同笼”没有亲切感。此外，关系性思维的欠缺导致六年级学生对于方程的本质也尚未形成良好的认知（关系性思维特征包括利用基本的数字和运算形式对数学表达式进行转换，而不仅仅是依据既定顺序的程度简单地计算出结果）。学生要想使用方程求解务必要进行建模，而建模的依据就是等号左右两边的两件事情在数学上是等价的。把未知当做条件进行建模并解答的意识和能力还不够。在这样的情况下，强加方程于学生，事倍功半是可以预见的。我相信，当学生在以后学习了“二元一次方程组”这一解决“鸡兔同笼”问题的最佳模型后，用方程组解“鸡兔同笼”必定能成为学生最乐学乐用的方法，理解其数学模型也是水到渠成的事情。

列表法是从全部假设成鸡或全部假设成兔开始一个一个推算的，假设法也是利用全部假设是鸡或兔来思考推理的。从这个思维层面上讲，这两种方法具有一个共同的特征：全部想成鸡或兔。所以，列表其实也是假设法的一种表现形式，假设法可以看成是对列表法的进一步抽象和提升。基于这样的分析，我们可以发现，如果学生能使用假设法或列表法，那么他们首先要实现一个思维上的飞跃：全部想成鸡或兔。而让一个未曾接触过“鸡兔同笼”的学生独立来实现这样的思维跳飞，显然是有一定难度的。这是因为学生的思维受到了题目语句“笼子里有若干只鸡和兔”的束缚。

四、自己教学定位分析

多数老师是在三、四年级用它给孩子们讲假设法；特级教师徐斌曾尝试在二年级教鸡兔同笼问题，用它讲画示意图解题；在中学里，老师则用它来讲二元一次方程组。同一个载体鸡兔同笼问题，不同的老师，在不同的学段可以教出不同的知识点。教材其实只是个载体，同一个题材你可以赋予它不同的使命，这也许就是大家常挂在嘴边的“用教材教”。经过综合分析，我的“鸡兔同笼”教学最主要的目标不应该定位在为了解决“鸡兔同笼”问题的本身上；而是应该定位在借助“鸡兔同笼”这个载体让学生历经列表、假设和方程的过程，并沟通这几种方法之间的联系，借助列表让学生学会假设法，借助假设体会方程的一般性。因此让学生认识、理解、运用假设法是本节课的教学重点，也是教学难点。采取以表格中数据变化规律为探究基础，以小组合作、师生互动为探究方式，将学生的认知经验和思维过程转化成数学语言，即数学算式，从而形成解决问题的全新的一般策略，发展学生的思维水平和推理能力。因此本节课最大的价值是借助假设法，帮助学生实现“全部想成鸡或兔”的思维飞跃，在发展学生的推理能力同时，形成一种解决“鸡兔同笼” 问题类型的思维方法。此外也是一个重要的要实现的教学目标是渗透一些基本的数学思想和方法。如：用容易探究的小数量替代《孙子算经》原题中的大数量的“替换法”解决问题，渗透了转化的思想和方法；用“列表法”解决问题，渗透了函数的思想和方法；用“算术法”解决问题，渗透了假设的思想和方法；用“方程法”解决问题，渗透了代数的思想和方法等等。这些对于学生而言，无疑奠定了可持续发展的坚实基础。

本节课的教学重点和难点都是理解和运用假设法。“假设法”是科学研究中常用的一种思维方法，也是解决数学问题的一种重要策略。它是指根据题目中的已知条件或结论作出某种假设，使复杂的情境简单化，隐蔽的数量关系明朗化，使问题较为容易地得到解决。使用“假设法”要注意两点：一，假设要符合题意，要找准与假设内容相对应的数量关系；二，假设要周密，要善于把假定的内容和数据加以调整，从而得到正确的答案。

用假设法解决的数学问题有很多，“鸡兔同笼”问题只是用假设法解决的诸多问题中的一类，其方法特征主要表现为全部假设成A或B。这个特征具体体现在“鸡兔同笼”问题教学中，那就是四个步骤：假设――计算――推理――解答。根据上述分析，假设法教学的思路应该已经非常清晰了，即围绕“假设――计算――推理――解答”这四个步骤展开。同时我们可以想象，推理应该是学生学习时的难点，只要注意引导就可以了。

【教学片断】

1.把所有的猜测有序地表示出来就是列表法。请你试着根据黑板上的这些猜测列成完整的表格。做在作业纸上。

2.书113页已经帮你列了一个表，看一看你的表格和它一样吗？还能怎样列表格？请你把书上的表格填完整，找到正确答案圈出来。

3.观察表格，寻找规律。

从左向右观察 __________________________________

从右向左观察 __________________________________

从上向下观察 __________________________________

从下向上观察 __________________________________

观察第一列 __________________________________

观察最后一列 __________________________________

观察脚数的特征__________________________________

4.如果鸡和兔一共100只呢，我们还要列表吗？

5.是不是我们刚才列表找规律这件事白做了呢？列表有什么用呢？

当头和脚的只数数据较大时，猜想和列表就不容易找出答案了。我们还有研究新方法的必要。那么在猜想和列表中找到的规律可以帮助去研究新的更加一般的方法。

6.如果全部假设成鸡，用列表法中的哪一列进行思考？如果全部假设成兔呢，其实就是表格中的第几列？可以画示意图帮助理解。 7.如果假设鸡为x只，兔为（ ）只。如果假设兔为x只，鸡为（ ）只。你能把表格补充完整吗？

8.如果假设鸡为x只，兔为y只。你会用这两个字母列一个等式吗？反过来，如果假设兔为x只，鸡为y只呢？你还能把表格补充完整吗？

让学生在参与观察、实验、猜想、证明等数学活动中，用数学语言清晰地表达自己的想法。从课初的随意猜想到表格中的有序猜想，从一般验证到表格中数据变化规律的发现，从列表法很快自然联想到假设法、代数法，学生的思维经历从无序到有序、从特殊到一般、从借鉴到创新、从肤浅到深刻等方面的巨大变化，注重不同策略间的相互联系和影响，注重解决问题策略的局限性和一般性，学生的思维能力随之得到提升。

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