砸缸救人与反面求解

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同学们，你知道司马光砸缸救人的故事吗?大水缸旁有一群儿童追逐嬉闹，有一名儿童不小心掉进了水缸。眼看就要被淹死，众童十分惊慌，忙找竹竿之类的工具搭救，无奈缸高、人矮，没有成功，这时，司马光急中生智，搬起石头把缸砸了个洞，水流出来，儿童也得救了。

众童找竿救人，设法使“人离开水”，这是多数人正常的习惯性的做法，是正面解决问题；而司马光砸缸，使“水离开人”，这是非常规的做法。是反面解决问题。

这个故事启示我们：离开常走的大道另辟蹊径，往往可收到意外的效果，下面“借窝孵蛋”的故事将让你生动地看到这一点。

一只喜鹊正在孵蛋。一次，喜鹊出去觅食时，一只杜鹃趁机叼着一枚蛋飞进喜鹊窝，一会儿又叼着一枚蛋飞走了，一段时间后，喜鹊孵出了“小杜鹃”，“傻”喜鹊忙着给它喂食，将它当成亲生儿女哺养!

“造窝孵雏”是鸟类的常规做法，而杜鹃却“借窝孵蛋”来延续后代。这是非常规做法，堪称杜鹃的“绝招”。

学习数学也是这样，有些数学问题，从正面人手繁杂冗长，而从反面人手却轻巧简捷、新颖别致。下面举例说明：

求证两个实数不可能同时是相反数又是倒数，考虑到“不可能”的反面是“可能”，因而可利用相反数与倒数的性质，证明较易人手，设a、6两个实数同时是相反数又互为倒数，则a+b=0，ab=1，从而(a+b)2=0，即a2+2ab+b2=0。a2+b2=-2，而我们都知道a2+b2≥0，矛盾，故两个实数不可能互为相反数又同时互为倒数，又如，证明x3-x-2008=0没有整数解，考虑到“没有整数解”的反面是“有整数解”，于是只要证明“有整数解”不成立就行了，原方程可化为x(x+1)(x-1)=2008，若原方程有整数解，则二个连续整数的乘积x(x+1)(x-1)必能被3整除，右边2008不能被3整除，矛盾，故原方程没有整数解。

可以看出，对于某些数学问题。反面求解具有化隐为显、化难为易的功效，因而对于那些从正面不易求解的问题，我们可以采用反面考虑的策略，下面的题曰，同学们不妨试着做一下。

今有一角币1张，二角币1张，五角币1张，一元币4张，五元币2张，用这些纸币任意付款，问可以付出不同数额的款共有多少种?(答案：119种。)